АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Вопрос №1. Опишите способы задания движения точки и связь между ними. Как найти уравнение траектории точки?

Читайте также:
  1. D) постоянных затрат к разнице между ценой реализации продукции и удельными переменными затратами.
  2. F Выполнение задания
  3. F Выполнение задания
  4. F Выполнение задания
  5. F Выполнение задания
  6. F Выполнение задания
  7. F Выполнение задания
  8. F Продолжение выполнения задания
  9. F Продолжение выполнения задания
  10. F Продолжение выполнения задания
  11. F Продолжение выполнения задания
  12. I Раздел 1. Международные яиившжоши. «пююеям как процесс...

Движение точки в пространстве определяется тремя ос­новными способами: векторным, координатным и естествен­ным. Векторный способ задания движения применяется при тео­ретических исследованиях, координатный и естественный упот­ребляются преимущественно при решении задач.

Векторный способ задания движения точки

Выберем некоторый неподвижный центр О и проведем из этого центра в точку М, движение которой изучаем, радиус-вектор r (рис. 2.1). При движении точки М радиус-вектор r изме­няется по величине и по направлению. Каждому моменту време­ни t соответствует определенное значение r

Следовательно, радиус-вектор г однозначно определяет, положение точки М. Таким образом, чтобы определить "движение точки, нужно задать ее радиус-вектор в виде однозначной и не­прерывной функции времени:

r=r(t);

Уравнение (1) определяет положение точки М в про­странстве в произвольный момент времени и, следовательно, уравнение (1) определяет закон движения точки М. При вектор­ном способе задании движения траекторией точки будет годо­граф радиус-вектора r.

Координатный способ задания движения точки

Рассмотрим прямоугольную декартову систему коорди­нат. Положение движущейся точки М определяется координата­ми х, у, z (рис. 2.2). Если координаты точки заданы как однознач­ные функции времени x = x(t), y=y(t), z = z(t), (2)

то положение точки М в пространстве известно в каждый момент времени. Уравнения (2) определяют закон движения точки и на­зываются уравнениями ее движения. С математической точки зрения уравнения (2) представляют собой параметрические урав­нения траектории точки. Чтобы найти уравнение траектории в форме зависимостей между координатами точки М, нужно из уравнений (2) исключить время, т.е. параметр t. Решая, например, последнее уравнение из (2) относительно t, найдем t = ф (z). Подставляя это соотношение в первые два уравнения, получим х = х[ф(z)]; y=у[ф(z)]-

Эти уравнения являются уравнениями поверхностей, пе­ресекающихся вдоль траектории точки.

Если точка движется в плоскости Оху, ее движение опре­деляется двумя уравнениями: x = x(t), y = y(t).

Если же точка движется по прямой, ее положение можно опреде­лить одной координатой, например: х = x(t).

Кроме декартовой системы координат, употребляются и другие координатные системы. Например, на плоскости можно пользоваться полярной системой координат (р, ф). В этих коор­динатах уравнения движения точки имеют вид: р = р(t), Ф = ф(t)

где р - полярный радиус; ф - угол между полярной осью и по­лярным радиусом.

Между координатным и векторным способами задания движения точки существует связь. Это видно, если записать раз­ложение радиус-вектора r по ортам i, j, k декартовой системы координат: r = x(t)i + y(t)j + z(t)k. (7)

Равенство (7) устанавливает зависимость радиус-вектора точки М от времени и решает вопрос о переходе от координатно­го способа задания движения точки к векторному.

Естественный способ задания движения точки

Этот способ задания движения точки применяется в том случае, когда траектория точки, относительно выбранной системы отсчета, известна. Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку А и примем ее за начало отсчета (рис. 2.3).

Далее, рассматривая траекторию как криволинейную координатную ось, сообщим ей ориентацию, т.е. поло­жительное направление отсчета рас­стояний s = AM. Тогда положение точки М на траектории будет одно­значно определяться криволинейной координатной s, равной расстоянию от точки А до движущейся точки М, измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точки М криво­линейная координата s будет изменяться с течением времени, т. е. S = s(t). (8)

Зная уравнение (8), можно определить положение точки в каж­дый момент времени. Уравнение (8) называется уравнением дви­жения, или законом движения вдоль заданной траектории.

Рассмотрим связь между естественным и координатным способами задания движения точки. Для перехода от координат­ного способа задания движения к естественному необходимо:

1) определить уравнение траектории точки,

2) положение точки в начальный момент времени и

3) закон движения точки по ее траектории.

Как определить уравнение траектории, нам уже известно. Для определения положения движущейся точки в начальный мо­мент времени (t = 0) необходимо в уравнения (2) подставить / = 0. Для определения закона движения точки по траектории восполь­зуемся известной из математического анализа формулой длины дуги кривой

 

(9)

В теоретической механике дифференцирование по вре­мени принято обозначать точкой над дифференцируемой функ­цией. Перепишем формулу (9) в этих обозначениях. s = ± (10)

 

Знак плюс в формулах (9), (10) берется в том случае, ко­гда точка М движется в сторону с положительного отсчета кри­волинейной координаты Если направление движения точки по траектории изменяется, то знак корня может быть различным для различных интервалов времени. Это изменение знака может быть при колебательном движении точки.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)