АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Рекуррентные уравнения

Читайте также:
  1. I I. Тригонометрические уравнения.
  2. I. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим.
  3. II. Однородные уравнения.
  4. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  5. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  6. V2: Применения уравнения Шредингера
  7. V2: Уравнения Максвелла
  8. VI Дифференциальные уравнения
  9. Алгебраические уравнения
  10. Алгебраические уравнения
  11. Алгоритм составления уравнения химической реакции
  12. АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ (13)

Рассмотрим обобщение последовательностей Фибоначчи. Формула

un + r = c1 un + r – 1 + c2 un + r – 2 + ∙ ∙ ∙ + cr un

называется однородным линейным рекуррентным уравнением порядка r. Ее решением является последовательность {un}, однозначно определенная начальными значениями u0, u1, u2, ∙ ∙ ∙, ur –1 . Решение такого уравнения называется возвратной или рекуррентной последовательностью порядка r.

Пример 1. Геометрическая прогрессия является решением уравнения un+1=qun. Ее члены описываются формулой un= u0qn. Отсюда геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью порядка 1.

Пример 2. Арифметическая прогрессия un = u0 + nd удовлетворяет соотношению un+1 - un = un+2 - un+1. Получаем однородное рекуррентное уравнение un+2 = 2un+1 - un. Начальные данные задаются значениями u0 и u1=u0+d. Отсюда арифметическая прогрессия является возвратной последовательностью порядка 2.

Пример 3. Произвольная периодическая последовательность является возвратной последовательностью порядка p, удовлетворяющей рекуррентному соотношению

un + p=un. Здесь p – период последовательности.

Для заданного рекуррентного уравнения

un + r = c1 un + r – 1 + c2 un + r – 2 + ∙ ∙ ∙ + cr un

найдем производящую функцию возвратной последовательности { un }. Обозначим K(x)=1- c1x - c2x2 - ∙ ∙ ∙ - crxr.

Теорема 1. Произведение u(x)K(x) = D(x) является многочленом степени меньшей, чем r.

Доказательство. Вычислим коэффициент ряда D(x) при xn+ r . Он при n ≥ 0 будет равен un + r - (c1 un + r – 1 + c2 un + r – 2 + ∙ ∙ ∙ + cr un) = 0. Отсюда D(x) – многочлен степени меньшей, чем n.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)