АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Линейные дифференциальные уравнения. Уравнение Бернулли

Читайте также:
  1. A) линейные
  2. A) уравнение Бернулли
  3. B) уравнение Риккати
  4. E) Для фиксированного предложения денег количественное уравнение отражает прямую взаимосвязь между уровнем цен Р и выпуском продукции Y.
  5. I I. Тригонометрические уравнения.
  6. II. Однородные уравнения.
  7. IV. УРАВНЕНИЕ ГАМЛЕТА
  8. V2: Волны. Уравнение волны
  9. V2: ДЕ 11 - Векторные пространства. Линейные операции над векторами
  10. V2: ДЕ 4 – Линейные отображения. Линейные операции над матрицами
  11. V2: ДЕ 5 - Линейные отображения. Умножение матриц
  12. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

 

1) Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, содержащее неизвестную функцию и ее производную в первой степени:

 

(1)

 

2) Уравнением Бернулли называется уравнение вида

 

(2)

 

(при это уравнение является линейным, при - уравнением с разделяющимися переменными). В (1) и (2) и - заданные функции.

Оба типа уравнений можно решать методом Бернулли с помощью подстановки

 

, где u и v – новые неизвестные функции от x, и - их производные по x.

Рассмотрим решение линейного уравнения.

Подстановка выражений для y и в уравнение (1) приводит его к виду

 

 

.

В качестве v выбираем одну из функций, удовлетворяющих уравнению

 

, (3)

 

тогда функция u определяется из уравнения

 

(4)

 

Уравнения (3), (4) – уравнения с разделяющимися переменными.

Рассмотрим решение уравнения (3).

 

,

 

 

 

,

 

 

 

 

(5).

 

Подставим (5) в (4), найдем функцию u.

 

Пример 1. Найти общее решение линейного уравнения .

Решение. Положим , тогда .

 

:

 

 

Выберем v так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, тогда

 


 

 

:

 

 

 

.

 

:

 

 

 

 

Следовательно,

 

Пример 2. Найти частное решение уравнения

, у(1)=1.

Решение.

.

Задачи. Решить уравнение:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. .

 

Найти решение уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию,

1. , у(0)=

2. , у(1)=1

3. , у(0)=5

4. у(2)=0

5. , у()=

6. , у()=

7. , у(-1)=0.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.)