Довжина дуги кривої. Натуральна параметризація

Нехай просторову криву γ дано параметричним рівнянням і . Впишемо в криву ламану.

Рис.14 C O Ламана називається правильно вписаною в криву , якщо її вершини на кривій слідують в тому ж порядку (тобто без зворотів), що і їх прообрази на відрізку .

На відрізку візьмемо точки На кривій γ їм відповідають точки Сполучаючи послідовно ці точки, одержимо ламану , вписану в криву .

Розглянемо довжину цієї ламаної. Якщо кількість вершин ламаної збільшується, то її довжина збільшується. Справді, якщо на дузі кривої з кінцями і взято нову вершину C, то сума прямолінійних відрізків і більша довжини прямолінійного відрізка . Тому довжина нової вписаної ламаної більша довжини ламаної .

Крива γ називається спрямною, якщо довжини всіх правильно вписаних в неї ламаних обмежені зверху. Верхня границя довжин усіх таких ламаних називається довжиною кривої і позначається .

Вона існує за теоремою Вейєрштраса.

Теорема 7. Гладка крива є спрямною. Довжина гладкої кривої () дорівнює визначеному інтегралу від модуля похідної : . (11)

В скалярній формі формула (11) має вид:

. (12)

Якщо криву задано рівняннями , то .

Для плоских кривих, розміщених у координатній площині , в цих формулах слід покласти .

Поняття довжини кривої дозволяє визначити на кривій параметр, який найбільш природнім способом пов’язаний з кривою. Таким параметром є довжина дуги. Дійсно, виберемо на кривій точку і який-небудь напрямок на ній. Положення точки B на кривій визначається її відстанню від точки . Приймемо за параметр на кривій довжину s дуги , взяту зі знаком +, якщо дуга має додатній напрямок, і зі знаком –, якщо дуга має від’ємний напрямок.

Якщо до цього на прямій була інша параметризація і точці відповідало значення , а точці B – значення , то довжина обчислюється за формулою:

, а отже , тобто є монотонною функцією від параметра і може бути прийнята за параметр. Цей параметр особливо зручний для вивчення кривої за її рівнянням і називається натуральним параметром кривої. Така параметризація називається натуральною і позначається .

Для натуральної параметризації дотичний вектор кривої є одиничним вектором, тобто . Дійсно: .

Визначна властивість натуральної параметризації:

Якщо – натуральна параметризація, то . Навпаки, якщо для деякого параметра , то – довжина дуги.

4.2. Кривина кривої, заданої в натуральній параметризації

Позначимо:

– кут між дотичними до γ в точках P і Q, – довжина дуги PQ кривої γ.

Кривиною кривої γ в точці P називається границя відношення кута повороту дотичної на дузі, що стягується до даної точки, до довжини цієї дуги, тобто .

Для кола радіуса R: . Тому незалежно від Q. Отже, кривина кола є сталою і дорівнює , де R – радіус кола.

Вектор називається вектором кривини кривої. Його довжина дорівнює кривині кривої, заданої в натуральній параметризації.

Теорема 8. Регулярна кривакласу (двічі неперервнодиференційовна) має в кожній точці єдину кривину. Якщо – натуральна параметризація кривої, то кривина дорівнює модулю другої похідної функції : .

, де L – середина відрізка MN.

З прямокутного трикутника PML, де : .

Поділимо обидві частини цієї рівності на і перейдемо до границі при .

Оскільки – двічі неперервно диференційовна крива і , то існує

,

бо при і границя першого множника дорівнює 1 (перша чудова границя). ■

Нехай в даній точці кривина . Розглянемо властивості вектора :

1) (оскільки – одиничний вектор і , отже );

2) належить стичній площині;

3) напрямлений за головною нормаллю і де – одиничний вектор головної нормалі. Останню рівність можна подати у виді:

(перша формула Френе). (13)

4.3. Кривина кривої в довільній параметризації

Нехай криву задано векторним рівнянням . Довжина дуги s є функцією параметра : , отже є складеною функцією . Знайдемо другу похідну від по s через похідні по t.

Для зручності домовимося похідні вектор-функції по натуральному параметру s позначати з крапкою (, і т.д.), а похідні по довільному параметру t – зі штрихом (, і т.д.).

; (14)

, звідки . (15)

З (14) маємо: , причому .

Враховуючи, що , одержимо .

Підставимо одержані вирази для , , в (15):

.

Для обчислення кривини знайдемо .

Оскільки – одиничний вектор і його похідна ортогональна , то можна знайти як модуль векторного добутку : .

.

(16)

В скалярній формі маємо:

, де A, B, C – координати вектора , тобто

(16')

Задача. Знайти кривину гвинтової лінії

Розв’язання.

Отже ; ; ;

.

Таким чином, кривина гвинтової лінії є сталою величиною.

Відповідь: .

4.4. Кривина плоскої кривої

З формул (16) і (16') легко одержати формули для обчислення кривини плоскої кривої:

1) : ; . (17)

2) : . (17')

3) : вважаємо що y є функцією від x, диференціюємо дане рівняння по x, звідки і ; далі знаходимо і підставляємо у формулу (17').

Поиск по сайту: