АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

О перестановке членов абсолютно сходящихся рядов

Читайте также:
  1. Абсолютно неупругий удар. Абсолютно упругий удар. Скорости шаров после абсолютно упругого центрального удара.
  2. Абсолютное доказательство
  3. Абсолютное значение одного процента прироста
  4. Абсолютною, в чьих бы руках она ни находилась, в руках народа
  5. Авторегрессионные модели временных рядов
  6. Алиментные обязательства других членов семьи
  7. Анализ вариационных рядов
  8. Анализ взаимосвязи двух временных рядов
  9. Анализ временных рядов
  10. Анализ динамики временных рядов
  11. Анализ социальной защищенности членов трудового колллектива
  12. Арифметика рядов Фибоначчи

. Докажем, что для всякого абсолютно сходящегося ряда справедливо переместительное свойство

Теорема4 (Коши). Если данный ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из данного посредством некоторой перестановки членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и данный ряд.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ряд

(4.1)

сходится абсолютно и сумма ряда равна S. Пусть, далее,

(4.2)

ряд, полученный из ряда (4.1) посредством некоторой перестановки членов. Требуется доказать, что: 1) ряд (4.2) сходится и имеет сумму, равную S; 2) ряд (4.2) сходится абсолютно. Докажем сначала 1). Достаточно доказать, что для любого найдется номер N такой, что при

(4.3)

Фиксируем произвольные . Так как ряд (4.1) сходится абсолютно и имеет сумму, равную S, то для выбранного можно указать номер такой, что будут справедливы неравенства

(p – любое натуральное число) (4.4)

и

. (4.5)

Выберем теперь номер N столь большим, чтобы любая частичная сумма ряда (4.2) с номером n, превосходящим N, содержало все первые членов ряда (4.1).

Оценим разность, стоящую в левой части (4.3), и докажем, что при для этой разности справедливо неравенство (4.3). В самом деле, указанную разность можно представить в виде

. (4.6)

Так как модуль суммы двух величин не превосходит суммы их модулей, то из (4.6) получим

. (4.7)

Из неравенства (4.5) и (4.7) очевидно, что для доказательства неравенства (4.5) достаточно доказать, что при

. (4.8)

Для доказательства неравенства (4.8) заметим, что при первая из сумм, стоящих в его левой части, содержит все первых членов ряда (4.1). Вследствие этого разность

(4.9)

представляет собой сумму членов ряда (4.1) с номерами, каждый из которых превосходит .

Если выбрать натуральное столь большим, чтобы номер превосходило номера всех членов только что указанной суммы, то для разности (4.9) во всяком случае справедливо неравенство

(4.10)

Из неравенства (4.10) и (4.4) вытекает неравенство (4.8). Тем самым доказано неравенство (3.3), т.е. доказано, что ряд (4.2) сходится и имеет сумму равную S. Остается доказать утверждение «0 о том, что ряд (4.2) сходится абсолютно. Доказательство этого утверждения следует из утверждения 1), если его применить к рядам

и . (4.11)

При этом мы докажем сходимость второго из рядов (4.11), т.е. докажем абсолютную сходимость ряда (4.2). Теорема полностью доказана

Литература: 1,с.28-35; 7, с.293-300; 10, с.524-532

 

Контрольные вопросы:

1. Какой ряд называют абсолютно сходящимся?

2. Какой ряд называют условно сходящимся?

3. Исследуйте на абсолютную сходимость ряд .

4. Сформулируйте и докажите теорему Римани.

5. Сформулируйте и докажите теорему Коши.

6. Какой ряд называют знакопеременным?

7. Какой ряд называют знакочередующимся?

8. Сформулируйте и докажите признак Коши.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)