АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Читайте также:
  1. I. МЕХАНИКА И ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
  2. I. Решение логических задач средствами алгебры логики
  3. VI. Биоэнергетические принципы аналитической терапии
  4. XII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ
  5. А. Понятие и элементы договора возмездного оказания услуг
  6. А. Понятие и элементы комиссии
  7. А. Понятие и элементы простого товарищества
  8. Актеры и элементы Use Case
  9. Арифметика алгебры
  10. Арифметические выражения и алгоритм линейной структуры
  11. Атрибуты (элементы данных).
  12. Б. Элементы договора дарения

 

 

Пример 1. Даны векторы 1(2 ; 4 ; 3 ; 2), 2(4 ; 2 ; 2 ; 8), 3(4 ; 5 ; 8 ; 7), 4(6 ; 7 ; 5 ; 3) и (18 ; 24 ; 13 ; 6). Показать, что векторы 1, 2, 3, 4 образуют базис четырехмерного линейного пространства R4 и найти координаты вектора в этом базисе.

 

Решение.

Выражение х1+ 12 2+…+хк к называется линейной комбинацией векторов 1, 2, … к с коэффициентами х1, х2, …хк. Любая линейная комбинация векторов линейного пространства представляет собой вектор того же пространства. Если некоторый вектор линейного пространства представлен в виде линейной комбинации векторов 1,…, к того же пространства, т.е.

(1)

 

то говорят, что вектор разложен по векторам 1,… к Система векторов 1, 2, … к некоторого линейного пространства называется линейно независимым, если равенство

 

(2)

 

имеет место только при нулевых значениях коэффициентов х1, х2, … , хк, если же равенство (2) выполняется и при условии, что хотя бы один из коэффициентов х1, х2, … , хк, отличен от нуля, то система векторов 1, 2, … к называется линейно зависимой.

Для векторов с заданными координатами 11, y1, z1, p1), 2(x2, y2, z2, p2), 3(x3, y3, z3, p3), 4(x4, y4, z4, p4), составим определитель и вычислим его.

 

(3)

Подставим в (3) данные векторы 1, 2, 3, 4 , получим

 

 

Так как , то векторы линейно независимы и они образуют базис линейного пространства R4 . Для вычисления координат вектора в этом базисе составим систему линейных уравнений из координат векторов 1, 2, 3, 4 и и решим ее методом Гаусса:

*

Составим матрицу системы и преобразуем ее к треугольному виду, т.е. будем последовательно получать нули ниже главной диагонали матрицы, на которых находятся элементы 2, 2, 8, 3.

 

 

Разделим каждый элемент I строки на 2, затем полученную I строку умножим последовательно на -4; -3; -2 и сложим соответственно со II; III и IV строками, получим:

 

~

 

Разделим III строку на (-2) и поменяем ее местами со II строкой.

 

 

Новую II строку умножим последовательно на 3; -2 и сложим соответственно с III и IV строками, получим:

 



III строку умножим на 5, IV на 6 и сложим их, получим:

 

 

Таким образом получим матрицу ступенчатого вида, например х1, х2, х3, х4,

откуда х4 = 3, х3 = -1, х2 = 0, х1 = 2.

Решение системы * (2; 0; -1; 3) образует совокупность координат вектора в базисе 1, 2, 3, 4 , т.е. в этом базисе (2; 0; -1; 3) или = 2 1 - 3 + 3 4.

 

 

Пример 2. Даны координаты вершин пирамиды А1(2; 1; 0), А2(3; -1; 2), А3(13; 3; 10), А4(0; 1; 4).

Найти: 1) длину ребра А1А2;

2) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

3) угол между ребрами А1А4 и гранью А1 А2 А3;

4) площадь грани А1 А2 А3;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А1А2;

7) уравнение плоскости А1 А2 А3;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1 А2 А3 . Сделать чертеж.

Решение.

1) Расстояние d между точками А1, y1, z1) и В2, y2, z2), определяется по формуле

 

(1)

 

Подставим в (1) координаты точек А1 и А2 , находим длину ребра А1А2:

 

А1А2=

2) Угол между ребрами А1А2 и А1А4 равен углу φ между направляющими векторами этих ребер и . Косинус угла между двумя векторами = скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей:

(2)

 

Координаты вектора с началом в точке А1(x1, y1, z1) и концом в точке А2(x2, y2, z2)

 

(3)

 

Применяя (3), получим (1; -2; 2), (-2; 0; 4). Применяя (1), получим модули векторов

Скалярное произведение двух векторов с заданными координатами равны сумме произведений соответствующих координат, т.е если 1, а2, а3), ( ), то их скалярное произведение

 

(4)

 

Применяя (4), найдем . Следовательно,

 

3) Угол между ребром А1А4 и гранью А1 А2 А3 равен углу φ между направляющим вектором данного ребра и нормальным вектором плоскости А1 А2 А3 .

Уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки А11, y1, z1) и А22, y2, z2), А33, y3, z3) имеет вид

‡агрузка...

(5)

 

Подставим в (5) координаты точек А1 А2 А3, получим:

 

 

Разложим определитель по элементам I строки:

 

 

Сократив на (-12), получим уравнение плоскости А1 А2 А3 :

2x – 4 – y + 1 - 2z = 0

2x – y - 2z – 3 = 0

Если уравнение плоскости α задано в каноническом виде Ax + By + Cz + Д = 0, то ее нормальный вектор α (А; В; С), т.е. нормальный вектор плоскости А1 А2 А3 имеет координаты (2; -1; -2). Синус угла α между вектором и плоскостью А1 А2 А3

 

(6)

 

Найдем скалярное произведение по формуле (4):

 

= -2 2 + 0 (-1) + 4 (-2) = - 4 – 8 = -12.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |


При использовании материала, поставите ссылку на Студалл.Орг (0.02 сек.)