Коэффициентов трансформации трансформаторов

В современных электрических системах совместно работают сети многих номинальных напряжений, связанных друг с другом повышающими и понижающими трансформаторами и автотрансформаторами. Электрические сети в ряде случаев содержат также и дополнительные последовательные регулировочные трансформаторы [18,21], ЭДС которых могут иметь как продольные, так и поперечные составляющие.

Совместный расчет сетей разных номинальных напряжений может выполняться применительно к одной из трех схем замещения электрической сети.

1. При составлении схемы замещения одно из номинальных напряжений выбирается в качестве базисного, и к нему приводятся как пассивные, так и активные параметры сетей всех других номинальных напряжений. При таком подходе магнитные связи заменяются эквивалентными электрическими.

2. В схему замещения сети вводятся дополнительные элементы - идеальные трансформаторы с вещественными или комплексными значениями коэффициентов трансформации [7,18].

3. В схему замещения включаются дополнительные (фиктивные) задающие токи [7].

Приведение к одному номинальному напряжению, строго говоря, возможно лишь в том случае, когда произведение коэффициентов трансформации, входящих в каждый независимый контур, равно единице. В реальных электрических сетях это условие обычно не выполняется. В этих условиях принимают коэффициенты трансформации одинаковыми, и приведение осуществляют по средним номинальным напряжениям. Отличие фактических коэффициентов трансформации от средних учитывают при этом введением в замкнутые контуры дополнительных ЭДС, которые зависят от параметров режимов и изменяются при их изменении.

При различных коэффициентах трансформации трансформаторов и автотрансформаторов, включенных в замкнутый контур, а также в тех случаях, когда эти коэффициенты являются комплексными величинами, расчеты режимов проще выполняются применительно ко второй или третьей схеме замещения [6,15,18,19,22-25].

В общем случае отношения напряжений разных ступеней трансформации характеризуются комплексными коэффициентами трансформации. Поэтому наибольший интерес представляют методы расчета режимов сетей нескольких номинальных напряжений при наличии трансформаторов и автотрансформаторов с комплексными коэффициентами трансформации.

Определение: коэффициент трансформации трансформатора в общем случае определяется комплексным числом:

,

(51)

где - номер группы соединений обмоток трансформатора по часовой системе, определяющий сдвиг напряжений холостого хода по фазе.

[Мельников Н. А. Эл-кие сети и системы, М.: Энергия, 1969]

1-4. Учет комплексных коэффициентов трансформации

в уравнениях состояния при введении в схему замещения

идеальных трансформаторов

1. Уравнения законов Ома и Кирхгофа.

Пусть к схеме электрической сети между узлами Н и К включен трансформатор, имеющий комплексный коэффициент трансформации.
Рисунок 1

Выделим этот трансформатор из схемы замещения и найдем его сопротивление, отнесенное к напряжению узла К. Связь между реальными напряжениями узлов Н и К отразим в схеме замещения трансформатора включением идеального трансформатора (рисунок 2). Полученная таким образом схема отвечает следующим допущениям:

	а) не учитывается насыщение стали трансформатора б) ток намагничивания принимается равным нулю; в) сопротивление трансформатора, приведенное к напряжению узла К, не пересчитывается при изменении коэффициента трансформации трансформатора.
Рисунок 2.	Схема замещения с идеальным трансформатором.

Будем определять коэффициент трансформации из соотношения, справедливого для режима холостого хода (одиночный трансформатор), при этом - коэффициент трансформации передачи в конкретной схеме, здесь .

,

Тогда для нагрузочного режима можно записать:

,

(52)

где - комплексный коэффициент трансформации трансформатора, включенного в рассматриваемую ветвь;

- ток в конце ветви (рисунок 2);

- сопротивление трансформатора, приведенное к стороне напряжения узла, отмеченного индексом К.

Если предположить, что трансформаторы включены во всех ветвях схемы замещения, то в соответствии с (52) можно записать матричное уравнение:

,

(53)

где - диагональная матрица комплексных коэффициентов трансформации (если в i -й ветви трансформатор отсутствует, то в i -й строке матрицы элемент ;

- столбовая матрица напряжений узлов, являющихся началами ветвей;

- столбовая матрица напряжений узлов, являющихся концами ветвей.

Для дальнейших выкладок воспользуемся первой матрицей инциденций , составленной для всех узлов схемы, включая базисный, представив ее в виде суммы двух матриц

,

(54)

где - матрица соединений во всех узлах схемы, элементами которой служат нули, и единицы с положительными знаками;

- та же матрица, но содержащая в качестве своих элементов нули и единицы с отрицательными знаками.

Рассмотрим схему замещения сети (рисунок!). Направленный граф для этой сети покажем на рисунке!.

Рисунок...	Схема замещения с идеальными трансформаторами для участка сети.	Рисунок...	Направленный граф участка сети.

Составим матрицы :

На любом конкретном примере можно установить справедливость следующего матричного выражения:

,

(55)

где - столбовая матрица узловых напряжений, определенных относительно нейтрали схемы замещения.

С учетом (55) уравнение (53) принимает вид:

(56)

или

,

(56а)

а при наличии э.д.с. в ветвях:

,

(56б)

где

(57)

- матрица пропорциональности.

Для схемы замещения, приведенной на рисунке..., матрица имеет следующий вид:

(57а)

Вычитая из уравнения (55)

уравнение (56)

имеем:

или после преобразований:

(58)

где - диагональная единичная матрица.

Полученное выражение представляет собой уравнение закона Ома, записанное в матричной форме для ветвей с трансформаторами. При наличии э.д.с. в ветвях это уравнение принимает следующий вид:

(58а)

Идеальный трансформатор, показанный в схеме на рисунке..., не имеет активного и индуктивного сопротивлений, и поэтому мощности на входе и выходе трансформатора равны друг другу и, следовательно,

Поэтому для токов на входе и выходе трансформатора справедливо соотношение:

,

откуда следует:

,

С учетом этой зависимости система уравнений, отвечающая первому закону Кирхгофа, для узлов 0,1,2 и 3 на схеме рисунок..., может быть записана в виде:

(59)

или

(59а)

Можно показать, что матрица коэффициентов в левой части уравнения (59а) равна:

.

Поэтому выражение (59а) может быть представлено в следующей обобщенной форме:

.

(60)

Уравнение (60) представляет собой математическую формулировку первого закона Кирхгофа для цепей с трансформаторами, имеющими комплексные коэффициенты трансформации.

Рисунок.

После умножения (58а) слева на вторую матрицу инциденций можно получить уравнение второго закона Кирхгофа в обобщенной матричной форме:

(61)

При применении уравнений (58), (60) и (61) для конкретных условий установлена следующая последовательность действий: 1) произвольно ориентируются ветви направленного графа; 2) устанавливаются начало Н и конец К ветвей, содержащих трансформаторы, так, как это показано на рисунке..., где направление тока совпадает с направлением ветви в направленном графе. Коэффициенты трансформации при этом могут оказаться как большими, так и меньшими единицы.

2. Узловое уравнение. Выразим матрицу токов из (56а):

и подставим в (60). При этом получим:

(62)

Выражение (62) представляет собой узловое уравнение, записанное в обобщенной форме для цепи с трансформаторами в ветвях. При наличии в ветвях э.д.с. это уравнение при использовании (56б) может быть получено в виде:

(63)

или

(64)

где - матрица узловых проводимостей цепи при наличии в ветвях схемы трансформаторов с комплексными коэффициентами трансформации.

Для схемы, показанной на рисунке..., матрица узловых проводимостей в раскрытой форме имеет вид:

Анализ этой матрицы позволяет сделать следующие выводы:

а) при наличии в ветвях трансформаторов или автотрансформаторов матрица узловых проводимостей имеет несимметричную форму;

б) матрица узловых проводимостей в рассматриваемом случае может быть получена не только формальным путем на основании ее математического выражения, но и непосредственно по схеме замещения сети.

Применение полученного уравнения позволяет выполнить расчеты режимов сетей, содержащих трансформаторы в замкнутых контурах. Однако эти расчеты связаны с определенными затруднениями, обусловленными несимметрией матриц узловых проводимостей. Эта особенность расчетов, являющаяся следствием учета трансформаторов введением в схему замещения идеальных трансформаторов, приводит:

а) к увеличению необходимого объема памяти ЦВМ для хранения исходной информации;

б) к нецелесообразности использования обращенной формы узлового уравнения в тех случаях, когда требуется выполнять многократные повторения расчетов с целью установления оптимальных значений коэффициентов трансформации. В последнем случае требуется пересчет матрицы при изменении хотя бы одного коэффициента трансформации.

В этих условиях находят успешное применение иные методы учета коэффициентов трансформации трансформаторов, включенных в замкнутые контуры электрической сети, не приводящие к операциям с несимметричными матрицами. Такие методы предусматривают представление трансформаторов в схемах замещения фиктивными токами [7,28,29 и др.] или фиктивными ЭДС [35], включенными в узлах.

Поиск по сайту: