Вычисление множеств точек удвоения заданной эллиптической кривой

Для вычисления открытого ключа К_ОВ изначально необходимо все удвоения генераторной точки G до [128]G, т.к. число 128 является максимальным в составе К_ЗВ = 182. Значение К_ЗВ = 182 можно представить как: 182 = 2 + 4 + 16 + 32 + 128, т.е. для вычисления К_ОВ = [К_ЗВ]G = [182]G необходимо вычислить точки [2]G; [4]G; [16]G; [32]G; [128]G, а затем определить их композицию К_ОВ = [К_ЗВ]G = [182]G = [2]G + [4]G + [16]G + [32]G + [128]G.

Вычисление удвоения генераторной точки G(X₁; Y₁) = G(18; 11) → [2]G.

- Вычисляется угловой коэффициент касательной в генераторной точке G(X₁; Y₁) = G(18; 11):

K = mod P = mod 293 = 231 mod 293 → 231.

- Вычисляются координаты точки [2]G = G(X₂; Y₂):

X₂ = (K² – 2X₁) mod P = (231² - 2*18) mod 293 = 292 mod 293 → 292;

Y₂ = (K*(X₁ – X₂) – Y₁) mod P = (231*(18 – 292) – 11) mod 293 =

= 276 mod 293 → 276.

Следовательно, [2]G = (X₂; Y₂) = (292; 276), координаты точки [2]G определены как X₂ = 292; Y₂ = 276.

Вычисление операции удвоения полученной точки [2]G, т.е. вычисление точки [4]G = (X₄; Y₄):

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [2]G = (X₂; Y₂) = (292; 276)

K = mod P = mod 293 = 60 mod 293 → 60.

- вычисление координат точки [4]G = (X₄; Y₄)

X₄ = (K² – 2X₂) mod P = (60² - 2*292) mod 293 = 86 mod 293 → 86;

Y₄ = (K*(X₂ – X₄) – Y₂) mod P = (60*(292 – 86) – 276) mod 293 =

= 71 mod 293 → 71.

Следовательно, [4]G = (X₄; Y₄) = (86; 71), координаты точки [4]G определены как X₄ = 86; Y₄ = 71.

Вычисление точки [8]G, как результат удвоения точки [4]G:

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [4]G = (X₄; Y₄) = (86; 71)

K = mod P = mod 293 = 16 mod 293 → 16.

- вычисление координат точки [8]G = (X₈; Y₈)

X₈ = (K² – 2X₄) mod P = (16² - 2*86) mod 293 = 84 mod 293 → 84;

Y₈ = (K*(X₄ – X₈) – Y₄) mod P = (16*(86 – 84) – 71) mod 293 =

= 254 mod 293 → 254.

Следовательно, [8]G = (X₈; Y₈) = (84; 254), координаты точки [8]G определены как X₈ = 84; Y₈ = 254.

Вычисление точки [16]G, как результат удвоения точки [8]G:

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [8]G = (X₈; Y₈) = (84; 254)

K = mod P = mod 293 = 14 mod 293 → 14.

- вычисление координат точки [16]G = (X₁₆; Y₁₆)

X₁₆ = (K² – 2X₈) mod P = (14² - 2*84) mod 293 = 28 mod 293 → 28;

Y₁₆ = (K*(X₈ – X₁₆) – Y₈) mod P = (14*(84 – 28) – 254) mod 293 =

= 237 mod 293 → 237.

Следовательно, [16]G = (X₁₆; Y₁₆) = (28; 237), координаты точки [16]G определены как X₁₆ = 28; Y₁₆ = 237.

Вычисление точки [32]G, как результат удвоения точки [16]G:

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [16]G = (X₁₆; Y₁₆) = (28; 237)

K = mod P = mod 293 = 251 mod 293 → 251.

- вычисление координат точки [32]G = (X₃₂; Y₃₂)

X₃₂ = (K² – 2X₁₆) mod P = (251² - 2*28) mod 293 = 243 mod 293 → 243;

Y₃₂ = (K*(X₁₆ – X₃₂) – Y₁₆) mod P = (251*(28 – 243) – 237) mod 293 =

= 3 mod 293 → 3.

Следовательно, [32]G = (X₃₂; Y₃₂) = (243; 3), координаты точки [32]G определены как X₃₂ = 243; Y₃₂= 3.

Вычисление точки [64]G, как результат удвоения точки [32]G:

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [32]G = (X₃₂; Y₃₂) = (243; 3)

K = mod P = mod 293 = 177 mod 293 → 177.

- вычисление координат точки [64]G = (X₆₄; Y₆₄)

X₆₄ = (K² – 2X₃₂) mod P = (177² - 2*243) mod 293 = 78 mod 293 → 78;

Y₆₄ = (K*(X₃₂ – X₆₄) – Y₃₂) mod P = (177*(243 – 78) – 3) mod 293 =

= 195 mod 293 → 195.

Следовательно, [64]G = (X₆₄; Y₆₄) = (78; 195), координаты точки [64]G определены как X₆₄ = 78; Y₆₄ = 195.

Вычисление точки [128]G, как результат удвоения точки [64]G:

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [64]G = (X₆₄; Y₆₄) = (78; 195)

K = mod P = mod 293 = 152 mod 293 → 152.

- вычисление координат точки [128]G = (X₁₂₈; Y₁₂₈)

X₁₂₈ = (K² – 2X₆₄) mod P = (152² - 2*78) mod 293 = 94 mod 293 → 94;

Y₁₂₈ = (K*(X₆₄ – X₁₂₈) – Y₆₄) mod P = (152*(78 – 94) – 195) mod 293 =

= 10 mod 293 → 10.

Следовательно, [128]G = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (94; 10), координаты точки [128]G определены как X₁₂₈ = 94; Y₁₂₈ = 10.

Вычисление композиций различных точек удвоения заданной эллиптической кривой ([2]G; [4]G; [16]G; [32]G; [128]G).

Для вычисления открытого ключа абонента В необходимо использовать пять следующих точек [2]G; [4]G; [16]G; [32]G; [128]G. Это подмножество точек определяется числовым значением секретного ключа абонента В К_ЗВ = 182. Число 182 определяется композицией точек подмножества 182 = 2 + 4 + 16 + 32 + 128. В свою очередь, [К_ЗВ]G = [182]G = [2]G + [4]G + [16]G + [32]G + [128]G.

Вычисление композиции точек [128]G и [32]G ([128]G + [32]G = [160G]):

([128]G = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (94; 10); [32]G = (X₃₂; Y₃₂) = (243; 3)).

- Вычисление углового коэффициента прямой, проходящей через точки [128]G и [32]G заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 173 mod 293 → 173.

- Вычисляются координаты точки [160]G = (X₁₆₀; Y₁₆₀):

X₁₆₀ = (K² – X₁₂₈ – X₃₂) mod P = (173² – 94 – 243) mod 293 = 292 mod 293 → 292.

Y₁₆₀ = (K*(X₁₂₈ – X₁₆₀) – Y₁₂₈) mod P = (173* (94 – 292) – 10) mod 293 =

= 17 mod 293 → 17.

Следовательно, [160]G = (X₁₆₀; Y₁₆₀) = (292; 17), координаты точки [160]G определены как X₁₆₀ = 292; Y₁₆₀ = 17.

Вычисление композиции точек [160]G и [16]G ([160]G + [16]G = [176]G):

([160]G = (X₁₆₀; Y₁₆₀) = (292; 17); [16]G = (X₁₆; Y₁₆) = (28; 237)).

- Вычисление углового коэффициента прямой, проходящей через точки [160]G и [16]G заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 48 mod 293 → 48.

- Вычисляются координаты точки [176]G = (X₁₇₆; Y₁₇₆):

X₁₇₆ = (K² – X₁₆₀ – X₁₆) mod P = (48² – 292 – 28) mod 293 = 226 mod 293 → 226.

Y₁₇₆ = (K*(X₁₆₀ – X₁₇₆) – Y₁₆₀) mod P = (48* (292 – 226) – 17) mod 293 =

= 221 mod 293 → 221.

Следовательно, [176]G = (X₁₇₆; Y₁₇₆) = (226; 221), координаты точки [176]G определены как X₁₇₆ = 226; Y₁₇₆ = 221.

Вычисление композиции точек [176]G и [4]G ([176]G + [4]G = [180]G):

([176]G = (X₁₇₆; Y₁₇₆) = (226; 221); [4]G = (X₄; Y₄) = (86; 71)).

- Вычисление углового коэффициента касательной прямой, проходящей через точки [176]G и [4]G заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 22 mod 293 → 22.

- Вычисляются координаты точки [180]G = (X₁₈₀; Y₁₈₀):

X₁₈₀ = (K² – X₁₇₆ – X₄) mod P = (22² – 226 – 86) mod 293 = 172 mod 293 → 172.

Y₁₈₀ = (K*(X₁₇₆ – X₁₈₀) – Y₁₇₆) mod P = (22* (226 – 172) – 221) mod 293 =

= 88 mod 293 → 88.

Следовательно, [180]G = (X₁₈₀; Y₁₈₀) = (172; 88), координаты точки [180]G определены как X₁₈₀ = 172; Y₁₈₀ = 88.

Вычисление композиции точек [180]G и [2]G ([180]G + [2]G = [182]G):

[180]G = (X₁₈₀; Y₁₈₀) = (172; 88); [2]G = (X₂; Y₂) = (292; 276).

- Вычисление углового коэффициента касательной прямой, проходящей через точки [180]G и [2]G заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 109 mod 293 → 109.

- Вычисляются координаты точки [182]G = (X₁₈₂; Y₁₈₂):

X₁₈₂ = (K² – X₁₈₀ – X₂) mod P = (109² – 172 – 292) mod 293 = 283 mod 293 → 283.

Y₁₈₂ = (K*(X₁₈₀ – X₁₈₂) – Y₁₈₀) mod P = (109* (172 – 283) – 88) mod 293 =

= 119 mod 293 → 119.

Следовательно, [182]G = (X₁₈₂; Y₁₈₂) = (283; 119), координаты точки [182]G определены как X₁₈₂ = 283; Y₁₈₂ = 119.

Таким образом, значение открытого ключа абонента В определится как К_ОВ = [К_ЗВ]G = [182]G = (X₁₈₂; Y₁₈₂) = (283; 119) при значении закрытого (секретного) ключа абонента В равного К_ЗВ = 182.

Поиск по сайту: