Линейное программирование

В раздел включены задачи, которые рассматриваются в теме «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве»: на составление различных уравнений прямых на плоскости и в пространстве; на нахождение точки пересечения прямых на плоскости; на нахождение точки пересечения прямой и плоскости в пространстве. Отметим, что раздел содержит задачи с экономическим содержанием, при решении которых необходимо применить сведения, полученные при изучении данной темы. В теме «Векторная алгебра» рассматриваются задачи, направленные на усвоение понятий вектора, задачи на основные действия с векторами, на нахождение координат вектора, скалярного произведения и косинуса угла между векторами. В теме «Линейное программирование» рассматриваются задачи на составления математических моделей и графический метод.

Задача 2.1.

Даны точки , , , которые являются вершинами треугольника

. Составить уравнения: а) медианы ; б) высоты, проведенной к стороне ; в) найти точку пересечения стороны с высотой, проведенной к этой стороне; г) используя векторы, найти косинус угла при вершине (номер примера соответствует варианту):

1) , , 11) , ,

2) , , 12) , ,

3) , , 13) , ,

4) , , 14) , ,

5) , , 15) , ,

6) , , 16) , ,

7) , , 17) , ,

8) , , 18) , ,

9) , , 19) , ,

10) , , 20) , , .

Пример 2.1.

Даны точки , , , которые являются вершинами треугольника . Составить уравнения: а) медианы ; б) высоты, проведенной к стороне ; в) найти точку пересечения стороны с высотой, проведенной к этой стороне; г) используя векторы, найти косинус угла при вершине . Изобразить данный треугольник.

Решение: Решая данные задачи, студент должен научиться составлять уравнения прямых на плоскости, вычислять координаты векторов, их длины и скалярное произведение.

а) Медиана делит сторону пополам. Найдем координаты точки как середину стороны :

.

Имеем две точки и , следовательно, уравнение медианы, проходящей через данные точки, можно составить по формуле:

.

Подставив координаты точек, получим

.

Ответ: уравнение медианы имеет вид .

б) Высоту, проведенную из точки к стороне , обозначим . Вектор перпендикулярен высоте , а значит, является нормалью. Найдем координаты вектора , из конца вектора вычли начало вектора. Имеем фиксированную точку и нормаль , следовательно, уравнение высоты можно составить по формуле:

.

Подставим данные, получим

Ответ: уравнение высоты имеет вид .

в) Точка является точкой пересечения двух прямых, и . Найти её координаты, значит решить систему, состоящей из уравнений этих прямых. В предыдущем пункте задачи уравнение найдено, осталось составить уравнение стороны . Имеем две точки и , следовательно, получим

.

Составим систему: . Решая систему по формулам Крамера (см. пример 1.2.), получим , . Итак, точка .

Ответ: .

г) Найдем косинус угла при вершине , используя векторы и , из формулы скалярного произведения . Выразим косинус угла при вершине ,

.

Сначала, найдём координаты векторов , :

,

.

Найдем их длины , :

,

,

затем их скалярное произведение в координатах

.

Теперь найдем .

Ответ: .

На рис.1 изобразим треугольник , найденную медиану и высоту .

Рис.1

Задача 2.2.

Найти точку пересечения прямой, проходящей через точки и , с данной плоскостью (номер примера соответствует варианту):

1) и с плоскостью ;

2) и с плоскостью ;

3) и с плоскостью ;

4) и с плоскостью ;

5) и с плоскостью ;

6) и с плоскостью ;

7) и с плоскостью ;

8) и с плоскостью ;

9) и с плоскостью ;

10) и с плоскостью ;

11) и с плоскостью ;

12) и с плоскостью ;

13) и с плоскостью ;

14) и с плоскостью ;

15) и с плоскостью ;

16) и с плоскостью ;

17) и с плоскостью ;

18) и с плоскостью ;

19) и с плоскостью ;

20) и с плоскостью .

Пример 2.2.

Найти точку пересечения прямой, проходящей через точки и , с плоскостью .

Решение: Найти точку пересечения прямой с плоскостью, значит решить систему из уравнений прямой и плоскости. Для этого студент должен научиться составлять уравнения прямых в пространстве. Точку обозначим буквой . Уравнение плоскости дано, составим уравнение прямой , проходящей через две точки и по формуле:

.

Подставив координаты точек, получим

.

Составим систему: . Уравнение прямой приведем к параметрическому виду . Параметрические уравнения прямой подставим в уравнение плоскости, получим , раскроем скобки, приведем подобные и выразим параметр : . Подставляя это значение в параметрические уравнения прямой, получаем координаты точки . Итак, точка .

Ответ: .

Задача 2.3.

Имеется информация о спросе на товар и его предложении , представленная в таблицах, где - цена на товар, - количество товара. Необходимо: а) Составить функции спроса и предложения; б) Определить точку рыночного равновесия; в) Сделать чертеж графиков спроса, предложения и указать точку рыночного равновесия. Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1)

№ периода	кол-во	ден. ед					№ периода	кол-во	ден. ед

2)

№ периода	кол-во	ден. ед					№ периода	кол-во	ден. ед

3)

№ периода	кол-во	ден. ед					№ периода	кол-во	ден. ед

4)

№ периода	кол-во	ден. ед					№ периода	кол-во	ден. ед

5)

№ периода	кол-во	ден. ед					№ периода	кол-во	ден. ед

6)

№ периода	кол-во	ден. ед					№ периода	кол-во	ден. ед

7)

№ периода	кол-во	ден. ед					№ периода	кол-во	ден. ед

8)

№ периода	кол-во	ден. ед					№ периода	кол-во	ден. ед

9)

№ периода	кол-во	ден. ед					№ периода	кол-во	ден. ед
II							II

10)

№ периода	кол-во	ден. ед					№ периода	кол-во	ден. ед

11)

№ периода	кол-во	ден. ед					№ периода	кол-во	ден. ед

12)

№ периода	кол-во	ден. ед					№ периода	кол-во	ден. ед

13)

№ периода	кол-во	ден. ед					№ периода	кол-во	ден. ед

14)

№ периода	кол-во	ден. ед					№ периода	кол-во	ден. ед

15)

№ периода	кол-во	ден. ед					№ периода	кол-во	ден. ед

16)

№ периода	кол-во	ден. ед					№ периода	кол-во	ден. ед

17)

№ периода	кол-во	ден. ед					№ периода	кол-во	ден. ед

18)

№ периода	кол-во	ден. ед					№ периода	кол-во	ден. ед

19)

№ периода	кол-во	ден. ед					№ периода	кол-во	ден. ед

20)

№ периода	кол-во	ден. ед					№ периода	кол-во	ден. ед

Пример 2.3.

Имеется информация о спросе на товар и его предложении , представленная в таблицах, где – цена на товар, – количество товара. Необходимо: а) Составить функции спроса и предложения; б) Определить точку рыночного равновесия; в) Сделать чертеж графиков спроса, предложения и указать точку рыночного равновесия.

таблица 1 таблица 2

№ периода	кол-во	ден. ед					№ периода	кол-во	ден. ед

Решение: а) Составим функцию спроса, исходя из предположения, что она линейна. Последнее предположение мы делаем исходя из наличия данных всего об одном изменении цены (и соответственно одном изменении величины спроса). Таким образом, в нашем распоряжении имеется всего 2 точки кривой спроса (см. таблицу 1). Как известно, через 2 точки, не зная характера кривой и вида функции, можно провести только прямую линию. Линейная функция в соответствующих обозначениях имеет вид: . Для нахождения неизвестных параметров и составим систему линейных уравнений: . Решая систему по формулам Крамера (см. пример 1.2), получим . Итак, получим вид искомой функции спроса . Аналогично, составим функцию предложения, которая в соответствующих обозначениях имеет вид: . Для нахождения неизвестных параметров и составим систему линейных уравнений: . Решая систему по формулам Крамера, получим . Итак, получим вид искомой функции предложения .

Ответ: – функция спроса, – функция предложения.

б) Рыночное равновесие достигается из условия :

Подставив, найденное значение , либо в функцию спроса, либо в функцию предложения, получим .

Ответ: – точка рыночного равновесия.

в) Итак, сделаем чертеж графиков спроса, предложения и укажем точку рыночного равновесия на рис.2.

Рис.2

Задача 2.4.

Для изготовления двух видов продукции и используют два вида сырья и . Запасы сырья, количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, а также величина прибыли, получаемая от реализации единицы продукции, приведены в таблице. Необходимо составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль. Составить математическую модель задачи и решить графическим методом.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1)

Виды сырья	Запасы сырья	Кол-во единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукции
Прибыль от единицы продукции (в тыс. долл.)

2)

Виды сырья	Запасы сырья	Кол-во единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукции
Прибыль от единицы продукции (в тыс. долл.)

3)

Виды сырья	Запасы сырья	Кол-во единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукции
Прибыль от единицы продукции (в тыс. долл.)

4)

Виды сырья	Запасы сырья	Кол-во единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукции
Прибыль от единицы продукции (в тыс. долл.)

5)

Виды сырья	Запасы сырья	Кол-во единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукции
Прибыль от единицы продукции (в тыс. долл.)

6)

Поиск по сайту: