Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

4.1. Координатное пространство , евклидово пространство. Множества в Rⁿ: открытые, замкнутые, ограниченные, связные, выпуклые. Компакт.

4.2. Функции нескольких переменных. Определение функции нескольких переменных как функции точки в n -мерном пространстве. Частные случаи двух и трех переменных, их области определения. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня.

4.3. Предел функции нескольких переменных в точке и на бесконечности. Основные теоремы о пределах. Необходимое и достаточное условие существования предела функции (критерий Коши).

4.4. Непрерывные функции нескольких переменных, основные определения. Операции с непрерывными функциями. Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Теорема о равномерной непрерывности (теорема Кантора).

4.5. Частные производные функции нескольких переменных. Теорема о дифференцируемости функции в точке. Геометрический смысл частных производных функции в точке. Производная по направлению. Градиент.

4.6. Полный дифференциал функции нескольких переменных, его геометрический смысл, свойства, приложения. Линеаризация функции.

4.7. Производная и дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

4.8. Частные производные неявно-заданных функций. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

4.9. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

4.10. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия локального экстремума. Критерий Сильвестра.

4.11. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

4.12. Наименьшее и наибольшее значения линейной функции двух переменных в области, заданной линейными неравенствами. (Графический метод).

4.13. Построение эмпирических зависимостей методом наименьших квадратов.

Числовые ряды

5.1. Числовой ряд и его частичные суммы. Сходящийся и расходящийся ряды. Сумма ряда. Условия сходимости и расходимости геометрической прогрессии. Свойства числовых рядов. Необходимое условие сходимости ряда и его следствие.

5.2. Достаточные условия сходимости знакопостоянных рядов. Признак срав-нения. Предельный признак сравнения. Обобщенный гармонический ряд.

5.3. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши. Условия сходимости и расходимости обобщенно гармонического ряда (вывод).

5.4. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

5.5. Теорема о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда (теорема Коши). Теорема о перестановке членов условно сходящегося ряда (теорема Римана).

5.6. Арифметические операции с рядами. Теорема о почленном сложении сходящихся рядов. Теорема о почленном перемножении сходящихся рядов. Признак Дирихле-Абеля.

5.7. Остаток ряда и его оценка. Теорема об оценке остатка знакоположительного ряда. Теорема об оценке остатка знакопеременного ряда. Теорема об оценке остатка знакочередующегося ряда, сходящегося по признаку Лейбница.

Поиск по сайту: