 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Формулы сокращенного умножения
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ
Е.А. Жукова, Л.Д. Жулева
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Справочный материал и пособие к практическим занятиям и СРС
для студентов 1 и 2 курсов
всех специальностей и форм обучения
Москва 2012
Ø Первообразная и неопределённый интеграл
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на (a,b), если F/(x)=f(x) на (a,b).
Множество всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается 
.
Основные свойства неопределенного интеграла
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. Если и U=U(x), где U(x)- непрерывно дифференцируемая функция, то 
7. Если x=x(t) непрерывно дифференцируемая функция, то 
.
Таблица 1
Таблица простейших часто встречающихся интегралов
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 16. 
17. 
18. 
При применении свойств 6 и 7 полезно использовать табл. 2.
Таблица 2
Таблица основных дифференциалов
1. 
где С-константа.
2. 
9. 
3. 
10. 
4. 
11. 
5. 
12. 
6. 
13. 
7. 
14. 
8. 
15. 
Рассмотрим примеры нахождения неопределенного интеграла методом «подведения под знак дифференциала», т.е. будем использовать табл. 2.
Пример 1
.
Пример 2
.
Пример 3
.
Пример 4
.
Ø Интегрирование путем замены переменной
Один из наиболее распространенных методов, применяемых при вычислении неопределенных интегралов, метод замены переменных или подстановки.
Если известно, что 
, то
где f(t), u(x), u/ (x) – непрерывны.
Способ подстановки состоит в том, что сообразно виду подынтегральной функции составляют вспомогательную функцию, подстановка которой в исходный интеграл приводит его к виду более удобному для интегрирования (часто табличному).
Рассмотрим примеры, уже решенные ранее:
Пример 1
.
Пример 2
.
Пример 3
.
Пример 4
.
Используем замену в более сложных примерах.
Пример 5
В этом случае используется форма подстановки, а именно 
, получим
и 
Пример 6
Использование универсальной тригонометрической подстановки
.
Метод замены переменной является одним из общих методов интегрирования. Умения использовать такие подстановки, которые упрощают подынтегральные выражения, вырабатываются практикой. Общих указаний по выбору выгодной подстановки дать нельзя.
Ø Интегрирование по частям
Пусть 
непрерывно дифференцируемые функции, тогда 
или 
Пример 7
.
Пример 8
.
Рассмотрим получившийся интеграл
Ответ: 
Замечания
Метод интегрирования по частям применяется при интегрировании следующих видов функций. 
1. При интегрировании функций вида 
интегрирование по частям применяется 2 раза, что приводит к решению уравнения для получения конечного ответа.
Пример 9
.
Пусть 
.
Тогда последнее равенство может быть переписано в виде
.
Получим уравнение
Отсюда
.
2. Метод интегрирования по частям может быть использован при интегрировании функций 
, тогда 
, 
.
Пример 10
.
Рассмотрим получившийся интеграл.
.
: 
уравнение относительно J.
.
Ответ:
.
Пример 10 может быть решен методом замены.
Пусть 
, тогда 
.
.
.
При вычислении одного и того же интеграла разными методами могут получаться отличные друг от друга ответы. Здесь имеем две функции 
и 
. Однако 
Предлагается проверить самостоятельно.
3. Необходимо иметь в виду, что применение метода интегрирования по частям приводит к частичному интегрированию, т.к. правая часть формулы (1) содержит интеграл. Но при правильном применении метода этот интеграл получается табличным или просто приводящимся к табличному.
Если в результате применения метода интегрирования по частям в правой части получается интеграл сложнее исходного, необходимо заново применить этот метод, разбив подынтегральное выражение на другие два множителя U и dV, из которых первый дифференцируется, а второй интегрируется при переходе к интегралу в правой части.
Умения правильного использования этого метода приобретаются только в результате упражнений.
Ø Интегрирование дробно-рациональных выражений
1. 
.
2. 
, причем, как предполагалось выше, 
.
Обозначим: 
.
Сделаем замену переменных
, 
, 
,
.
Имеем:
.
3. Пусть 
правильная дробь, т.е. m < n. Рассмотрим упрощенный вариант разложения многочлена на множители (полные способы разложения здесь не рассматриваются)
, т.е. n=5;
Тогда
.
Найдя коэффициенты А,В,С и D, мы придем к вычислению трех уже известных интегралов
.
Пример 11
.
-> m < n дробь правильная.
–> разложили как сумму кубов
.
.
Т.к 
имеет действительный корень х=-1 (х+1=0), то применим метод частных значений: подставим х=-1 в левую и правую часть разложения
.
−> A=2.
Других удобных значений X у нас нет. Применим метод сравнения коэффициентов при одинаковых степенях X в левой и правой частях.
.
.
Имеем
.
.
Ø Необходимые сведения и формулы
Формулы сокращенного умножения
.
.
.
.
Поиск по сайту: