АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Математическое дополнение, формулы Грина

Читайте также:
  1. Алгоритм проверки адекватности множественной регрессионной модели (сущность этапов проверки, расчетные формулы, формулировка вывода).
  2. Алгоритм проверки значимости регрессоров во множественной регрессионной модели: выдвигаемая статистическая гипотеза, процедура ее проверки, формулы для расчета статистики.
  3. Вывод формулы для координат центра давления на плоскую стенку.
  4. Глава 1. Математическое моделирование в электроэнергетике.
  5. Задания на использование формулы Хартли и применение вероятностного подхода к измерению информации
  6. Задания на использование формулы Хартли и применение вероятностного подхода к измерению информации
  7. Задания на использование формулы Хартли и применение вероятностного подхода к измерению информации
  8. Значение формулы в формулярном процессе. Составные элементы формулы
  9. Математическое моделирование
  10. Математическое моделирование
  11. Математическое моделирование в экологии

Теорема Остроградского-Гаусса имеет вид , где функция непрерывна и конечна в рассматриваемом объёме V, охватываемом поверхностью S. Нормаль направлена наружу от объёма V. Возьмем

Аналогично для получим

Разность (4.4) и (4. ) дает

(4.4) и (4.5) будем называть первой и второй формулами Грина. Эти формулы справедливы в той области, где функции u и непрерывны и конечны вместе со своими первыми производными.

4. Решение трехмерных уравнений Пуассона и Лапласа в общем случае.

Возьмем уравнения Пуассона и Лапласа для полевой функции u(x,y,z).

,

.

 

 

Уравнение Пуассона имеет , создающими соответствующее поле.

Его решение в произвольном объёме V, включающем в себя ,будем искать с помощью формулы Грина (4.5).

В этой формуле в качестве u(x, y, z) возьмем полевую функцию, удовлетворяющую уравнению Пуассона на . Возьмем в качестве , где R- расстояние между, любой точкой источника и любой точкой объёма V. При совпадении точки наблюдения с точкой истока R=0 и условия применимости формулы Грина нарушится. Окружим точку наблюдения сферой радиуса и выбросим область внутри сферы из рассмотрения. Тогда для области формула Грина дает

Сведем выброшенный объем к точке .

Из (4. имеет решение в частном случае Учитывая, =f имеем , где

Здесь использована теорема о среднем

Учитывая, что совпадает с искомой функцией, находим

(4.6) – общее решение уравнения Пуассона.

Для уравнения Лапласа при f=0

4. Общее решение уравнения Лапласа при наличии разрыва производной искомой функции.

Будем считать, что искомая функция удовлетворяет уравнению Лапласа в объёме V, где есть поверхность , на которой производная претерпевает скачок

Выбросим из рассмотрения точки , которые будем считать точками истока. В формуле Грина (4.5) выберем u,как полевую функцию удовлетворяющую уравнению

 

 

 

Выбросим из рассмотрения , Получаем

Устремляем .

где был вычислен в 4. .

Подсчитаем

Поскольку на и получаем

Окончательный ответ имеет вид

При отсутствии разрыва производной функции u(x, y, z) внутри V (4.7) переходит в (4. ).

4. Общее решение уравнения Пуассона в двумерном случае.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)