Малые продольные колебания упругого стержня

Под действием внешних сил стержень начинает колебаться.

Искомая функция – величина смещения к моменту времени t точки, имевшей в положении равновесия координату х.

Рис. 6.

Рис. 7.

Рассмотрим некоторые ограничения:

колебания точек стержня совершаются вдоль оси , т.е. v = v _x, T=T_x, F=F_x;

работает закон Гука, причем ;

колебания малы (по аналогии с 2.1).

Введем характеристики деформации.

Если длина отрезка в положении равновесия, а – его длина в смещенном положении, тогда – абсолютное удлинение отрезка, а – его относительное удлинение.

Пусть

При рассмотрении данного участка, его начало – переходит в , а его конец – переходит в , тогда

,

Относительное удлинение примет вид

Если , получаем:

Силу натяжения по закону Гука представим как

Будем пользоваться вторым законом Ньютона:

где , а .

Введем линейную плотность массы

.

Если стержень однороден, то . Запишем изменение импульса

,

.

В нашем случае .

Импульс силы равен

тогда по второму закону Ньютона получаем

Легко видеть, что v

Проекция векторного равенства на ось дает

.

Воспользуемся теоремой о среднем, получим

Делим последнее равенство на ∆х∆t, устремляем ∆х и ∆t к нулю

, ,

и получаем уравнение

. (2.2)

Пусть – константа, т.е. не зависит от x, тогда уравнение (2.2) примет вид

.

Если ввести величины , то получим

(2.2’)

(2.2’) – уравнение продольных колебаний стержня, которое совпадает с уравнением для поперечных колебаний струны; т.е. 2 разных математических процесса описываются одинаково.

2.3. Малые поперечные колебания упругой мембраны

Под мембраной будем понимать поверхность , опирающуюся на замкнутый контур .

Введём некоторые ограничения

, где – скорость точки мембраны.

Точки мембраны колеблются перпендикулярно плоскости, в которой она находится в положении равновесия.

– отклонение от положения равновесия точки с координатами в момент времени . Скорость перпендикулярна плоскости . Таким образом, любое сечение перпендикулярно плоскости , и для него может быть построена задача, аналогичная 2.1.

б) Будем считать мембрану гибкой, т.е. силы натяжения направлены по касательной к мгновенному профилю.

Введём линейную плотность силы , тогда

Рис. 8.

Колебания малы и происходят без растяжения мембраны (рис. 8):

, что дает:

Возьмём направление , в котором мембрана имеет наиболее крутой наклон, и рассечём мембрану в этом направлении (рис. 9).

Рис. 9.

максимальный угол наклона касательной к оси x.

Градиент u направлен в сторону наибольшего возрастания функции u.

Проекции равны

, тогда

Производная остаётся постоянной и не зависит от времени.

Участок мембраны при колебаниях не сдвигается в плоскости за время (рис. 10). Пусть за время

Рис. 10.

за время . Получаем условие отсутствия сдвига.

Если равны интегралы по произвольной области, то равны подынтегральные выражения.

и не зависит от .

Аналогично

, не зависит от . Следовательно,

.

Введем поверхностную плотность массы. Пусть – малый элемент мембраны и – масса мембраны, тогда

.

Используем второй закон Ньютона

.

Для малого элемента мембраны dS: ,

Для конечного по размерам участка ,

.

Получаем

Введем поверхностную плотность внешней силы

, , , тогда второй закон Ньютона перепишется в виде

.

Проектируем на ось

.

Теорема Остроградского – Гаусса имеет вид в двумерном случае

, где

. Тогда

;

. В нашем случае

.

Имеем интегральное равенство для произвольных областей, следовательно, равны подынтегральные выражения.

.

Воспользуемся теоремой о среднем:

где , и получим

.

После предельного перехода

получаем

,

В отличие от одномерных задач (2.1) и (2.2) уравнение (2.3) является двумерным.

Проверяем размерность :

Поиск по сайту: