Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Пусть – линейный оператор, действующий в пространстве

Пусть – линейный оператор, действующий в пространстве .

Определение 5. Ненулевой вектор называется собствен­ным вектором линейного оператора f, если для этого вектора

(3)

где λ – некоторое число, называемое собственным значением линейного оператора , соответствующим вектору .

Для единичного оператора любой вектор является собственным вектором, относящимся к единственному собственному значению . Для нулевого оператора любой вектор является собственным вектором, относящимся к единственному собственному значению .

Решим задачу нахождения собственных векторов.

Формулу (3) с учетом () можно переписать в матричном виде:

или

()

где E – единичная матрица порядка n.

Подробная запись формулы () имеет вид:

(4)

Решая однородную систему уравнений (4), находим координаты собственного вектора при данном собственном зна­чении λ.

Так как , то , а это значит, что , т. е.

(5)

Уравнение (5) называется характеристическим уравне­нием матрицы А или оператора f.

Таким образом, собственные значения линейного оператора находятся из уравнения (5), а координаты соответствующих собствен­ных векторов – из системы уравнений (4).

Можно доказать, что если собственные числа оператора f различны, то соот­ветствующие им собственные векторы линейно независимы.

Поиск по сайту: