АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Всякие s векторов п-мерного векторного пространства со- ставляют при линейно зависимую систему

Читайте также:
  1. II. Свойства векторного произведения
  2. III. Векторное произведение векторов, заданных координатами
  3. MathCad: понятие массива, создание векторов и матриц.
  4. V2: ДЕ 11 - Векторные пространства. Линейные операции над векторами
  5. V2: ДЕ 14 – Векторные пространства. Коллинеарность векторов.
  6. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  7. Аксиомы линейного пространства
  8. Алгебраические свойства векторного произведения
  9. Антиномии пространства и времени
  10. Арифметические выражения и алгоритм линейной структуры
  11. Арифметическое представление пространства и времени
  12. Архитектоника культурного пространства

Пусть, в самом деле, нам даны векторы

а 12 > •••> а1п)<

®2===(^!21i Я22> • • •> а2п)’

as — (asl’ аА, •••-

Нам нужно подобрать такие числа klt k2,..., ks, не все равные нулю, что

хах + /г 2 а 2 +... +£sas=0. (4)

Переходя от равенства (4) к соответствующим равенствам между компонентами, получаем

а 11^1 + а«1^2 + • • • + = 0,

”t~ “Ь • • •

ainki + aznki+ • • • +asnks 0. ^

Равенства (5) составляют, однако, систему я линейных однородных уравнений относительно s неизвестных kt, k2,..., ks. Число урав­нений в этой системе меньше числа неизвестных, а поэтому, как доказано в конце § 1, эта система обладает ненулевыми решениями. Таким образом, можно подобрать числа йх, k2,..., ks, не все рав­ные нулю, которые удовлетворяют требованию (4). Теорема доказана.

Назовем линейно независимую систему я-мерных векторов

ах, а2,..., а, (6)

максимальной линейно независимой системой, если добавление к этой системе любого я-мерного вектора (5 дает уже линейно зависимую систему. Так как во всякой линейной зависимости, связывающей векторы ах, а2,..., ап {$, коэффициент при |3 должен быть отлич­ным от нуля — иначе система (6) была бы линейно зависимой, — to вектор р линейно выражается через векторы (6). Поэтому система векторов (6) тогда и только тогда будет максимальной линейно не­зависимой системой, если векторы (6) линейно независимы, а любой я-мерный вектор |3 является их линейной комбинацией.

Из результатов, полученных выше, вытекает, что в п-мерном про­странстве всякая линейно независимая система, состоящая из п векторов, будет максимальной, а также что любая максималь­ная линейно независимая система векторов этого пространства состоит не более чем из п векторов.

Всякая линейно независимая система п-мерных векторов содержится хотя бы в одной максимальной линейно независи­

мой системе. В самом деле, если заданная система векторов не максимальна, то к ней можно добавить один вектор так, что по­лученная система останется линейно независимой. Если эта новая си­стема все еще не максимальна-, то к ней можно добавить еще один вектор, и т. д. Этот процесс не может, однако, продол­жаться бесконечно, так как уже любая система л-мерных векторов, состоящая из я-j-l вектора, будет линейно зависимой.

Так как всякая система, состоящая из одного ненулевого век­тора, линейно независима, то мы получаем, что всякий ненулевой вектор содержится в некоторой максимальной линейно неза­висимой системе, а поэтому в п-мерном векторном простран­стве существует бесконечно много различных максимальных линейно независимых систем векторов.

Возникает вопрос, существуют ли в этом пространстве макси­мальные линейно независимые системы с меньшим, чем я, числом векторов или же число векторов в любой такой системе непре­менно равно я? Ответ на этот важный вопрос будет дан ниже, посла некоторых предварительных рассмотрений.

Если вектор Р является линейной комбинацией векторов

а1( а„..., а,, (7)

то часто говорят, что р линейно выражается через систему (7). Понятно, что если вектор р линейно выражается через некоторую подсистему этой системы, то он будет линейно выражаться и через систему (7) — достаточно остальные векторы системы взять с коэф­фициентами, равными нулю. Обобщая эту терминологию, говорят, что система векторов

Pi. Р»,'.... Р, (8)

линейно выражается через систему (7), если всякий вектор |Зг, i— 1, 2,..., s, является линейной комбинацией векторов системы (7).

Докажем транзитивность этого понятия: если система (8) ли­нейно выражается через систему (7), а система векторов

Yi> Ya. • • Yt (9)

линейно выражается через систему (8), то (9) будет линейно выра­жаться и через (7).

В самом деле,

Yy=S^P/, J=h 2,..., t, (10)

I-i

г

н0 Pi — 2 < = 1> 2,..., s. Подставляя эти выражения в (10),

т = 1

получаем:

мой системе. В самом деле, если заданная система векторов не максимальна, то к ней можно добавить один вектор так, что по­лученная система останется линейно независимой. Если эта новая си­стема все еще не максимальна-, то к ней можно добавить еще один вектор, и т. д. Этот процесс не может, однако, продол­жаться бесконечно, так как уже любая система л-мерных векторов, состоящая из я-j-l вектора, будет линейно зависимой.

Так как всякая система, состоящая из одного ненулевого век­тора, линейно независима, то мы получаем, что всякий ненулевой вектор содержится в некоторой максимальной линейно неза­висимой системе, а поэтому в п-мерном векторном простран­стве существует бесконечно много различных максимальных линейно независимых систем векторов.

Возникает вопрос, существуют ли в этом пространстве макси­мальные линейно независимые системы с меньшим, чем я, числом векторов или же число векторов в любой такой системе непре­менно равно я? Ответ на этот важный вопрос будет дан ниже, посла некоторых предварительных рассмотрений.

Если вектор Р является линейной комбинацией векторов

а1( а„..., а,, (7)

то часто говорят, что р линейно выражается через систему (7). Понятно, что если вектор р линейно выражается через некоторую подсистему этой системы, то он будет линейно выражаться и через систему (7) — достаточно остальные векторы системы взять с коэф­фициентами, равными нулю. Обобщая эту терминологию, говорят, что система векторов

Pi. Р»,'.... Р, (8)

линейно выражается через систему (7), если всякий вектор |Зг, i— 1, 2,..., s, является линейной комбинацией векторов системы (7).

Докажем транзитивность этого понятия: если система (8) ли­нейно выражается через систему (7), а система векторов

Yi> Ya. • • Yt (9)

линейно выражается через систему (8), то (9) будет линейно выра­жаться и через (7).

В самом деле,

Yy=S^P/, J=h 2,..., t, (10)

I-i

г

н0 Pi — 2 < = 1> 2,..., s. Подставляя эти выражения в (10),

т = 1

получаем:

где не все коэффициенты k2..., kr равны нулю. Отсюда мы приходим к следующим равенствам между компонентами:

Т

2 &(.a;. = 0, j= 1, 2,..., s. (12)

/=i

Рассмотрим теперь следующую линейную комбинацию векторов системы (1):

Ajdj + k2а2 -f... + ktar

Г

или, короче, 2 kfli. Используя (11) и (12), получаем:

1 = 1

2 kfli = S ki ару J = 2 ^2 k,aijj Р/= 0;

это противоречит, однако, линейной независимости системы (I).

Из доказанной сейчас основной теоремы вытекает следующий результат:


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)