АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Определитель произведения нескольких матриц п-го порядка равен произведению определителей этих матриц

Читайте также:
  1. I Классификация кривых второго порядка
  2. I. Определение ранга матрицы
  3. II Неравенства.
  4. II ОБЩИЕ НАЧАЛА ПУБЛИЧНО-ПРАВОВОГО ПОРЯДКА
  5. II. САКРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ: МЕТАФОРА УНИВЕРСАЛЬНОГО ПОРЯДКА
  6. II. Свойства векторного произведения
  7. II. Умножение матрицы на число
  8. II. Элементарные преобразования. Эквивалентные матрицы.
  9. III. Произведение матриц
  10. IV.1. Общие начала частной правозащиты и судебного порядка
  11. MathCad: понятие массива, создание векторов и матриц.
  12. Nikon D7100 - матрица APS-C в идеальном оформлении

Достаточно доказать эту теорему для случая двух матриц. Пусть даны матрицы л-ro порядка А —(а (.у) и В*=(Ьц) и пусть АВ = = C—{cij). Построим следующий вспомогательный определитель А порядка 2/г. в его левом верхнем углу поставим матрицу А, в пра­вом нижнем — матрицу В, весь правый верхний угол займем нулями и, наконец, по главной диагонали левого нижнего угла поставим число — 1, заняв все остальные места также нулями. Определитель А имеет, следовательно, такой вид:

«11 «12 • ■ • а   0. .. 0
«21 агг • • • а2п   0. .. 0
ап1 «пг • • • апп   0. .. 0
-1 0. .. 0 Ьи 612. • • bln
0 - -1. .. 0 Ьц &2а • • • bin
  0... — 1 1 'п1 Ьц2 • I * bnn

Применение к определителю А теоремы Лапласа — разложение по первым п срокам — приводит к следующему равенству:

Д = |Л|.|В|. (4)

Попытаемся, с другой стороны, так преобразовать определитель А, не меняя его значения, чтобы все элементы bif, i, j= 1, 2,...., п, оказались замененными нулями. Для этой цели к (я-f 1)-му столбцу определителя А прибавим его первый столбец, умноженный на Ь второй, умноженный на Ь21, и т. д., наконец я-й столбец, умножен­ный на Ьп1. Затем к (л + 2)-му столбцу определителя А прибавим первый столбец, умноженный на Ь12, второй, умноженный на Ь22, и т. д. Вообще, к («+ j)-му столбцу определителя А, где j = = 1, 2,..., п, мы прибавим сумму первых я столбцов, взятых, со­ответственно, с коэффициентами Ь1}-, b2j,..., bnj.

Легко видеть, что эти преобразования, не меняющие определи­теля, на самом деле приводят к замене всех*элементов Ьц нулями. Одновременно вместо нулей, стоявших в правом верхнем углу опре­делителя, появятся следующие числа: на пересечении i-й строки и (й + /)-го столбца определителя, i, j= 1, п, будет стоять

теперь число aixbxj-\- a,-2£2/+... +ainbn}, равное, ввиду (3), эле­менту Сц матрицы С — АВ. Правый верхний угол определителя за-, нимает теперь, следовательно, матрица С:

°11 °12 ■.. Oin си Cl2... ст
°21 °22 ... а2п С21 С22 • • С
“»1   • • • апп С„1 С п2... спп
— 1   ... 0   0...  
  — 1 ... 0   0...  
    ... —1   0...  

Применим еще раз теорему Лапласа, разлагая определитель по последним п столбцам. Дополнительный минор для минора |Cf равен (— 1)л, а так как минор |С| расположен в строках с номерами 1, 2,..., п и в столбцах с номерами я+ 1, я + 2,..., 2 п, причем

16 + 2 -}-..,-|-я + (я + 1) + (я + 2) +»** + 2 л = 2 /z 2 -f- п,

то

Д = (_1)2" 2 +»(_1)»|С| = (—1) 2 (пг+п)|С| или, ввиду четности числа 2 (п%-\-п),

(5)

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Теорема об умножении определителей могла бы быть доказана и без использования теоремы Лапласа. Одно из таких доказательств читатель найдет в конце § 16.

§ 14. Обратная матрица

Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной!), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или неособен­ной) — в противоположном случае. Соответственно линейное преоб­разование неизвестных называется вырожденным или невырожден­ным в зависимости от того, будет ли равен нулю или отличен от нуля определитель из коэффициентов этого преобразования. Из теоремы, доказанной в конце предшествующего параграфа, выте­кают следующие утверждения:


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)