АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Свойства выпуклых множеств и выпуклых функций

Читайте также:
  1. F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .
  2. I. Составление дифференциальных уравнений и определение передаточных функций
  3. II. Свойства векторного произведения
  4. III. Психические свойства личности – типичные для данного человека особенности его психики, особенности реализации его психических процессов.
  5. IIІ Исследование функций
  6. Ms Excel: мастер функций. Логические функции.
  7. V. Множественные волнообразные линии
  8. V2: Электрические и магнитные свойства вещества
  9. А) Безграничное конкретное множество; b) равенство (неравенство).
  10. Автоматизация функций в социальной работе
  11. Аксиома выражения в теории множеств.
  12. Аксиома определенности (закона) бытия в теории множеств.

Доказательства следующих теорем следуют непосредственно из определения выпуклости.

Теорема 4.1.3. Пересечение произвольного числа выпуклых множеств – выпуклое множество.

Теорема 4.1.4. Пусть M={A} – упорядоченное семейство выпуклых множеств, т.е. для всех A,B∈M существует C∈M, такое что A∪B⊆C. Тогда объединение всех множеств W= UA∈MA семейства М является выпуклым множеством.

Теорема 4.1.5. Если функции f и g – выпуклые и λ ≥ 0, то функции f+g и λf – выпуклые.

Теорема 4.1.6. Если функции fi, i∈I – выпуклые и g(x)=supi∈I fi(x), то функция g – выпуклая.

Определение. Пусть А – произвольное подмножество нормированного пространства X. Введем обозначения:

A(ε) = {x∈X| (y∈X, ||x-y||< ε) => y∈A};

A[ε] = {x∈X| (y∈X, ||x-y||≤ ε) => y∈A};

A(ε) = {x∈X| ∃y∈A ||x-y||< ε};

A[ε] = {x∈X| ∃y∈A ||x-y||≤ ε }.

Теорема 4.1.7. Если A ⊆ X – выпуклое подмножество нормированного пространства, то для всех ε>0 множества A(ε), A[ε], A(ε), A[ε] также являются выпуклыми.

Доказательство. 1) Пусть А – выпуклое множество и множество A(ε) не пусто. Выберем x,y∈A(ε). Докажем, что для всех λ∈[0, 1]

xλ = λx+(1-λ)y ∈ A(ε).

Для этого нужно показать, что для каждого h∈X, такого что ||h||<ε, выполняется условие xλ+h ∈ A.

По определению множества A(ε) имеем: x+h∈A, y+h∈A. В силу выпуклости множества А получаем, что для всех λ∈[0, 1] λ(x+h)+(1-λ)(y+h) = λx+(1-λ)y + h = xλ + h ∈A.

Случай A[ε] доказывается аналогично (заменяем знак < на знак ≤).

2) Пусть x,y∈A(ε). Докажем, что для всех λ∈[0, 1] xλ = λx+(1-λ)y∈A(ε).

Для этого нужно показать, что существует вектор yλ∈A, такой что ||xλ – yλ||<ε.

По определению множества A(ε) найдутся элементы x1∈A, y1∈A, для которых справедливы неравенства ||x – x1||<ε и ||y – y1||<ε. В виду выпуклости множества А имеем yλ = λx1+(1-λ)y1∈A. Кроме этого, ||xλ – yλ|| = ||λx+(1-λ)y – (λx1+(1-λ)y1)|| = ||λ(x–x1)+(1-λ)(y–y1)|| ≤ λ||x–x1||+(1-λ)||y–y1|| < λε +(1-λ)ε = ε.



Случай A[ε] аналогичен.

Теорема доказана.

Следствие. Если A ⊆ X – непустое выпуклое подмножество нормированного пространства X, то его внутренность int(A) и его замыкание cl(A) также выпуклые множества.

Доказательство немедленно следует из теоремы ввиду того, что int(A) – упорядоченное объединение множеств A(ε), ε>0, а множество cl(A) совпадает с пересечением множеств A[ε], ε>0.

Следующая теорема называется теоремой об отделимости выпуклых множеств.

Теорема 4.1.8. Пусть A, B ⊆ RN – непустые выпуклые множества, причем А – открытое, В – замкнутое. Если A∩B=Ø, то найдется вектор z∈RN, такой что

supy∈B <z, y> ≤ infx∈A <z, x>,

(<z,x> – скалярное произведение векторов z и x).

Теорема представляет собой одну из форм теоремы Хана – Банаха для пространства RN (см. функциональный анализ).

Доказательство. Пусть Шn – шар радиуса n с центром в начале координат, An = A[1/n] ∩ Шn , Bn = B∩Шn.

При достаточно больших значениях параметра n∈N множества An и Bn являются непустыми, замкнутыми и ограниченными (т.е. компактными). Последовательности An и Bn упорядочены по включению, причем

UAn = A, U Bn=B.

1) Зададим функцию f(x,y)=||x–y||. Поскольку f – непрерывная ограниченная снизу функция, на компактном множестве АnxBn она достигает своего минимального значения в некоторой точке (xn,yn), где xn∈Аn, yn∈Bn. При этом xn≠yn, т.к. множества An и Bn не пересекаются.

Обозначим zn=(yn–xn) (см. рис. 4.1.1).

2) Покажем, что для всех x∈An и y∈Bn справедливо неравенство

‡агрузка...

<zn, y-yn> ≤ 0 ≤ <zn, x-xn>. (4.1.3)

Действительно, предположим, что найдется точка x0∈An, для которой выполняется неравенство

<zn, x0 –xn> = d > 0.

Тогда для всех λ∈[0, 1] xλ = λx0+(1-λ)xn∈An.

g(λ)=(f(xλ,yn)) 2 = <xλ – yn, xλ – yn> = <xn + λ (x0– xn) – yn, xn + λ (x0– xn) – yn >.

g’(λ) = 2<x0– xn, xn + λ (x0– xn) – yn> = 0 при

<x0– xn, yn – xn> =λ<x0– xn, x0– xn >, следовательно, λmin = d/||x0– xn||2 > 0.

g(λmin)= <xn– yn, xn– yn>+λ min2<x0– xn, x0– xn >+2λ min<x0– xn, xn– yn> =

= <xn– yn, xn– yn>+dl min – 2 dl min = <xn– yn, xn– yn> – dl min < (f(xn, yn))2.

Полученное неравенство противоречит тому, что f(xn, yn) – минимально возможное расстояние между точками множеств An и Bn.

Вторая часть неравенства (4.1.3) доказывается аналогично.

3) Из (4.1.3) получаем, что для всех x∈An и y∈Bn выполняется

<zn, x > ≤ <zn, xn> < <zn,zn>+<zn, xn>=<zn, yn> ≤ <zn, y>. (4.1.4)

Пронормируем векторы zn (при этом неравенства (4.1.4) сохранятся). Поскольку теперь последовательность zn является ограниченной, выделим из нее сходящуюся подпоследовательность. Обозначим z0 = lim zn(k).

Пусть x∈A, y∈B. Начиная с некоторого номера выполняются включения x∈An(k), y∈Bn(k). Следовательно, для этих же номеров выполняется неравенство (4.1.4): <zn(k), x> < <zn(k), y>. Перейдя к пределу, получаем

<z0, x> ≤ <z0, y>.

Теорема доказана.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |


При использовании материала, поставите ссылку на Студалл.Орг (0.009 сек.)