АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Алгоритм Гюйгенса исследования ПВЗ

Читайте также:
  1. B. Основные принципы исследования истории этических учений
  2. I. Личность как предмет психологического исследования
  3. I. Область исследования
  4. I. ОБЛАСТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ
  5. I. Определение проблемы и целей исследования
  6. I. Уровни исследования отражения
  7. I.2.4. Алгоритм симплекс-метода.
  8. II. 4.1. Алгоритм метода ветвей и границ
  9. II. Организация и этапы статистического исследования
  10. II. ПРОБЛЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ
  11. II. ПРОГРАММА ТЕОРЕТИКО-ПРИКЛАДНОГО СОЦИОЛОГИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
  12. LU – алгоритм нахождения собственных значений для несимметричных задач

Определение. Функцию Ф(t, x, x') (t∈[a, b], x,x'∈Rn) будем называть точной производной в области W⊆[a, b]×Rn, если найдется гладкая функция S(t,x), такая что для всех (t,x)∈W, x' ∈Rnвыполняется равенство Ф(t, x, x') = St(t,x) + Sx(t,x) x'.

Заметим, что для всех функций х∈C1[a, b] выполняется тождество

Ф(t, x(t), x'(t)) = d/dt [S(t, x(t))] = St(t,x(t)) + Sx(t,x(t)) x'(t).

Лемма. Если в простейшей вариационной задаче

g(x)= ∫[a; b] Ф(t, x(t),x'(t))dt → extr, x(a)=x1, x(b)=x2, x∈C1[a, b] (6.6.1)

функция Ф является точной производной, то на множестве допустимых функций функционал g принимает постоянное значение.

Множество W, которое фигурирует в определении точной производной, играет следующую роль. Уравнение Эйлера позволяет найти подозрительную на экстремум функцию x0(t). Затем, если мы хотим проверить эту функцию на сильный локальный экстремум, то требуется сравнить значения f в точке x0 и точках x, график которых лежит в окрестности графика x0, т.е. в множестве

W = G(x0, ε) = {(t, x) | t∈[a, b], |x0(t)–x|<ε}.

Если же требуется проверка на глобальный экстремум, можно считать, что W = [a, b] × Rn.

Таким образом, множество W задает ограничение на допустимые функции, график которых должен находиться в этом множестве.

Теорема 6.6.1 (Алгоритм Гюйгенса). Предположим, что в области W существует точная производная Ф, такая, что:

1) ∀ (t,x)∈W, ∀x'∈Rn L(t, x, x') ≥ Ф(t, x, x'); (6.6.2)

2) для некоторой допустимой функции x0(t) ∀ t∈[a, b] выполняется тождество

L(t, x0(t), x'0(t)) = Ф(t, x0(t), x'0(t)). (6.6.3)

Тогда х0 – точка минимума для задачи (6.1.1) в области W.

Доказательство. Зададим функционал g по формуле (6.6.1). Тогда для любой допустимой функции x, чей график лежит в области W с учетом доказанной леммы и условий теоремы получаем:

f(x) ≥ g(x) = g(х0) = f(х0).

Теорема доказана.

Эффективность алгоритма Гюйгенса существенно зависит от того, научимся ли мы находить требуемую для его работы точную производную. Для решения этой проблемы удобно использовать следующее понятие.

Определение. Функцию p:W → Rn назовем геодезическим наклоном в задаче (6.1.1) для области W, если:

1.задача Коши x'=p(t,x), x(t0)=x0 разрешима для любого (t0, x0)∈W (или говорят, что решения уравнения x'=p(t,x) покрывают множество W);

2.существует точная производная Ф, такая, что ∀ (t,x)∈W, ∀x'∈Rn:
а) L(t, x, x') ≥ Ф(t, x, x'); б) L(t, x, p(t, x)) = Ф(t, x, p(t, x)).

Решения уравнения x'=p(t,x) называются геодезическими кривыми.

Теорема 6.6.2. Любая допустимая геодезическая кривая является точкой минимума для задачи (6.1.1) в области W.

Доказательство. Если x0 - допустимая геодезическая кривая, то x0'(t) = p(t, x0(t)), при этом выполняются все условия теоремы 6.6.1.

Покажем, что на самом деле точная производная, упоминаемая в определении геодезического наклона, вычисляется однозначно.

Лемма. Если р – геодезический наклон для области W, то ∀ (t,x)∈W, ∀x'∈Rn

Ф(t, x, x') = L(t, x, p(t, x)) + Lx '(t, x, p(t, x)) (x' - p(t,x)). (6.6.4)

Заметим, что для функции Ф(t, x, x') условие Ф(t, x, p(t, x)) = L(t, x, p(t, x)) теперь выполняется автоматически.

Определение. Функция E: W×Rn×Rn→ R: E(t, x, x', p) = L(t, x, x') - L(t, x, p) - Lx '(t, x, p) (x' - p) называется функцией Вейерштрасса для задачи (6.1.1).

Пусть p=p(t,x) – геодезический наклон, тогда условие а) в определении может быть записано так:

E(t, x, x', p(t,x)) = L(t, x, x') - L(t, x, p(t, x)) - Lx '(t, x, p(t,x)) (x' - p(t,x))≥ 0 (условие Вейерштрасса).

Утверждение. Пусть W - односвязная область, функции p, L, Lx ' непрерывны. Интеграл Гильберта-Картана не зависит от пути интегрирования тогда и только тогда, когда для всех (t,x)∈W выполняются следующие условия:

1.∀ k=1,...,n /∂t yk(t,x,p(t,x)) = /∂xk H(t,x,p(t,x));

2.∀ i=1,...,n; k=1,...,n/∂xk yi(t,x,p(t,x)) = /∂xi yk(t,x,p(t,x)).

Определение. Функции [t, xk] (t,x) ≡ /∂t yk(t,x,p(t,x)) - /∂xk H(t,x,p(t,x));

[xi, xk] (t,x) ≡ /∂xk yi(t,x,p(t,x)) - /∂xi yk(t,x,p(t,x)) называются скобками Пауссона для геодезического наклона p.

Все вышесказанное доказывает следующую теорему.

Теорема 6.6.3. Пусть функции p, L, Lx ' непрерывны, W - односвязная область. Функция р:W→Rn – геодезический наклон в области W тогда и только тогда, когда:

10. Решения уравнения x'=p(t,x) покрывают область W;

20. Выполняется условие Вейерштрасса:∀t∈[a, b] E(t, x, x', p(t,x)) ≥ 0

30.∀ i=1,...,n; k=1,...,n ∀(t, x) ∈W [t, xk] (t,x) =0 и [xi, xk] (t,x)=0.

Лемма. Пусть x - геодезическая кривая. Тогда

d/dt Lx '(i) (t, x(t),x'(t)) - Lx(i) (t, x(t),x '(t)) ≡ ∑1≤k≤nxk'(t)[xk, xi] (t,x(t)) +[t, xi] (t,x(t)).

Доказательство леммы проводится непосредственным вычислением с использованием определения скобок Пуассона.

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 6.6.3, p - геодезический наклон. Тогда уравнение x'=p(t,x) является первым интегралом уравнения Эйлера для задачи (6.1.1):

d/dt Lx ' (t, x(t),x'(t)) = Lx (t, x(t),x '(t)).

Данное утверждение сильно сужает круг для поиска функций геодезического наклона.

Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 6.6.3, p - геодезический наклон и уравнение x'=p(t,x) является первым интегралом уравнения Эйлера для задачи (6.1.1). Тогда из условия

∀ k=1,...,n ∀(t, x) ∈W [xi, xk] (t,x)=0 следует выполнение условия ∀(t, x) ∈W [t, xi] (t,x) =0.

Средствами теории дифференциальных уравнений, можно доказать следующий результат.

Утверждение. Пусть функции p, L и Lx ' непрерывны вместе со своими вторыми производными, W - односвязная область, p - геодезический наклон и уравнение x'=p(t,x) является первым интегралом уравнения Эйлера для задачи (6.1.1). Если для каждого решения x0 уравнения x'=p(t, x) найдется точка t0∈[a, b], для которой ∀ i=1,...,n; k=1,...,n [xi, xk] (t0,x0(t0))=0, то [xi, xk]≡0 на W.

Итог всех рассуждений запишем в виде теоремы.

Теорема 6.6.4. Пусть функции p, L и Lx ' непрерывны вместе со своими вторыми производными, W - односвязная область, уравнение x'=p(t,x) является первым интегралом уравнения Эйлера.

Функция p является геодезическим наклоном тогда и только тогда, когда выполнены условия:

10. Решения уравнения x'=p(t,x) покрывают область W;

20. Выполняется условие Вейерштрасса:∀t∈[a, b] E(t, x, x', p(t,x)) ≥ 0

30. Для каждого решения x0 уравнения x'=p(t, x) найдется точка t0∈[a, b], для которой ∀ i=1,...,n; k=1,...,n [xi, xk] (t0,x0(t0))=0.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)