АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Функції

Читайте также:
  1. III. Соціальна політика, її сутність і функції.
  2. АБСТРАКТНІ КЛАСИ І ЧИСТІ ВІРТУАЛЬНІ ФУНКЦІЇ_________________________________________
  3. Автоматизоване робоче місце бухгалтера (АРМБ): призначення, функції та його рівні.
  4. Автоматизоване робоче місце бухгалтера (АРМБ): призначення, функції та його рівні.
  5. Алгоритм знаходження функції, оберненої до даної.
  6. Банківська система. Банки, їх види та функції
  7. Банківська система. Банки, їх види та функції
  8. Біржова торгівля. Товарна та фондова біржа, їх функції та значення
  9. Бухгалтерські рахунки, їх призначення, функції і побудова
  10. Бюджетно-податкова політика забезпечує найважливіші економічні функції держави, які формують її дієздатність в економічній політиці:
  11. Види і функції політики
  12. Визначити соціальні функції сім’ї – 15 б.

Нехай функція визначена в деякій області D, а аргументи х та у є функціями від t :

(2.18)

визначеними в деякому проміжку , причому для всіх точки .

Якщо в функцію замість х та у підставити їх значення з (2.18), то отримаємо складену функцію від одного аргумента t :

. (2.19)

Теорема 2.4. Якщо функції в деякій точці мають скінченні похідні, а функція в точці диференційована, то складена функція (2.19) має в точці t похідну, яка дорівнює

. (2.20)

Д о в е д е н н я. Надамо аргументу t довільного приросту , такого щоб . Тоді функції , отримають прирости відповідно . Оскільки функція диференційована в точці , то її повний приріст в цій точці можна записати у вигляді (2.7), тобто

Розділивши обидві частини цієї рівності на , отримаємо:

(2.21)

Так як функції в точці мають похідні, то вони неперервні в цій точці, тобто та при . Значить, та при . Тому, переходячи до границі в рівності (2.21) при , отримуємо рівність (2.20), чим і доводимо нашу теорему.

Зауваження 2.6. Рівність (2.20) можна записати ще й так:

. (2.22)

Зауваження 2.7. Щойно доведену теорему можна узагальнити на випадок, коли аргументи функції є, в свою чергу, функціями декількох змінних, наприклад, двох.

Теорема 2.5. Нехай функція визначена в деякій області D, а аргументи х та у є функціями двох змінних u та v: які визначені в деякій області G, причому для всіх точок відповідні точки .

Тоді якщо функції диференційовані в якійсь точці , а функція диференційована у відповідній точці , то складена функція має частинні похідні по u та v вточці і ці частинні похідні дорівнюють:

. (2.23)

Доведення цієї теореми аналогічне доведенню попередньої теореми.

Розглянемо приклади.

Приклад 2.5. Знайти похідну функції , якщо .

Р о з в′ я з а н н я . Скориставшись формулою (2.22), маємо:

Приклад 2.6. Чи задовольняє співвідношенню функція , де ?

Р о з в′ я з а н н я . Використовуючи формули (2.23), знаходимо

звідки, додавши отримані рівності, переконуємось, що задана функція задовольняє вказаному співвідношенню.

Приклад 2.7 Якщо функція має похідну в деякій точці х, а функція диференційована у відповідній точці , то, міркуючи відповідно до теореми 2.4, матимемо:



(2.24)

Займемось зараз диференціалом складеної функції.

Теорема 2.6. Нехай в деякій точці функції мають неперервні частинні похідні , , , , а функція має неперервні частинні похідні та у відповідній точці .

Тоді функція , розглядувана як складена функція в точці , має диференціал

.

Д о в е д е н н я. Відповідно до умов теореми функція має неперервні частинні похідні по u та v в точці . Значить, за теоремою 2.3, вона диференційована в цій точці і її диференціал дорівнює

.

Підставивши в цю рівність значення похідних з формул (2.23), після перегрупування доданків отримаємо:

.

Оскільки за умовою теореми функції є неперервними в точці , то вирази в дужках останньої рівності є відповідно диференціали та .

Теорему доведено.

Висновок 2.2. Як бачимо з доведеної теореми, форма повного диференціала зберігається і у випадку складеної функції декількох змінних. Цю властивість називають інваріантністю форми повного диференціала функції декількох змінних.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |


При использовании материала, поставите ссылку на Студалл.Орг (0.009 сек.)