АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Формула Тейлора для функції двох змінних

Читайте также:
  1. III. Соціальна політика, її сутність і функції.
  2. АБСТРАКТНІ КЛАСИ І ЧИСТІ ВІРТУАЛЬНІ ФУНКЦІЇ_________________________________________
  3. Автоматизоване робоче місце бухгалтера (АРМБ): призначення, функції та його рівні.
  4. Автоматизоване робоче місце бухгалтера (АРМБ): призначення, функції та його рівні.
  5. Алгоритм знаходження функції, оберненої до даної.
  6. Банківська система. Банки, їх види та функції
  7. Банківська система. Банки, їх види та функції
  8. Барометрическая формула
  9. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.
  10. Биография Ф.Тейлора
  11. Біржова торгівля. Товарна та фондова біржа, їх функції та значення
  12. Бухгалтерські рахунки, їх призначення, функції і побудова

В теорії функцій однієї дійсної змінної важливу роль відіграє формула Тейлора. Не менш важливе значення має вона і для функцій декількох змінних. Ми виведемо формулу Тейлора, розглядаючи для спрощення викладок функцію двох змінних.

Нехай функція визначена і має неперервні частинні похідні до (п +1)–го порядку включно в деякому околі точки . Візьмемо в цьому околі якусь точку і сполучимо її з точкою відрізком прямої лінії. Рівняння цієї прямої як прямої, що проходить через дві точки та М, буде таким: . Звідси,

. (4.16)

Якщо в рівностях (4.16) взяти t = 0, то дістанемо координати точки , а якщо t = 1, то координати точки М. Тому можемо вважати, що t змінюється на відрізку , тобто .

Функція вздовж відрізка змінюватиметься як функція однієї змінної t на відрізку :

. (4.17)

Згідно припущення функція визначена і має неперервні частинні похідні до (п +1)–го порядку включно в околі точки , якому належить відрізок . Тому складена функція має на відрізку неперервні похідні до (п +1)–го порядку включно. Значить, для функції можна записати формулу Маклорена п–го порядку з залишковим членом в формі Лагранжа:

де .

Поклавши тут t = 1, з врахуванням (4.17) дістанемо:

. (4.18)

Знайдемо тепер і т. д., .

Диференціюючи (4.17) та враховуючи рівність (2.20) в теоремі 2.4, матимемо

Беручи до уваги (4.16), останню рівність запишемо так:

.

Тепер знаходимо , пам¢ятаючи, що та є складеними функціями (х і у залежать від t за формулами (4.16)), а і - сталі числа:

Аналогічно знаходимо

,

і т. д.,

.

Поклавши t = 0 в отриманих формулах для і для , з врахуванням (4.16) матимемо:

, .

Тоді формулу (4.18) можна записати так:

(4.19)

Формула (4.19) називається формулою Тейлора п–го порядку для функції двох змінних з залишковим членом в формі Лагранжа в околі точки .

Зауваження 4.5. Відзначимо, що якщо умови, накладені на функцію , послабити, а саме, вимагати, щоб вона мала неперервні частинні похідні до (п -1)–го порядку включно в деякому околі точки , а в самій точці була диференційованою до п–го порядку, то тоді функцію можна розвинути за формулою Тейлора п–го порядку залишковим членом в формі Пеано:



(4.20)

де - нескінченно мала функція при .

Як бачимо, формула Тейлора у вигляді (4.19) чи (4.20) зовні нічим не відрізняється від формули Тейлора для функції однієї змінної, записаної в диференціальній формі. Проте в розгорнутому вигляді для функції двох змінних вона буде значно складніша. Запишемо, наприклад, формулу (4.20) для випадку п =2, позначивши , тобто :

Зауваження 4.6. Для функції трьох і більшої кількості змінних також можна записати формулу Тейлора при відповідних умовах на функцію. Так, наприклад, якщо функція визначена і має неперервні частинні похідні до (п +1)–го порядку включно в деякому околі точки , то, аналогічно до (4.19), можна записати:

Приклад 4.6. Розвинути за формулою Тейлора другого порядку функцію в околі точки

Р о з в′ я з а н н я

Задана функція має неперервні частинні похідні будь-якого порядку в усіх точках площини. Знайдемо усі частинні похідні до другого порядку включно та обчислимо їхні значення, а також значення функції в заданій точці .

;

, ;

, ;

, ;

, ;

, .

Тоді, підставивши та обчислені значення частинних похідних в заданій точці, матимемо:


Лекція 5 Екстремуми функцій декількох змінних

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |


При использовании материала, поставите ссылку на Студалл.Орг (0.008 сек.)