АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

ОПИСАНИЕ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА

Читайте также:
  1. III. Краткое описание лабораторного стенда
  2. VIII. Описание основных факторов риска, связанных с деятельностью Общества
  3. Анализ движения денежных средств прямым и косвенным методами.
  4. Анализ метода
  5. Библиографическое описание многотомного документа
  6. Библиографическое описание рецензий и рефератов
  7. Библиографическое описание сериальных и других продолжающихся ресурсов
  8. Библиографическое описание электронных ресурсов
  9. Вопрос 4,5,6,12,15,22,. Описание инструмента шевер.
  10. Кейс-метод: история разработки и использования метода в образовании
  11. Концепция метода «КЕЙСОВ»
  12. Краткое описание лабораторного стенда (схема стенда).

Рассмотрим квадратную матрицу n-ого порядка:

Собственные значения li квадратной матрицы A есть действительные или комплексные числа, удовлетворяющие условию:

,

E – единичная матрица; - собственный вектор матрицы A, соответствующий некоторому собственному значению l. Матрица называется характеристической матрицей матрицы A. Т.к. в матрице по главной диагонали стоят l, а все остальные элементы равны нулю, то характеристическая матрица имеет вид:

Определитель этой матрицы называется характеристическим (вековым) определителем и равен:

В развернутом виде он является многочленом n-ой степени относительно l, т.к. при вычислении этого определителя произведение элементов главной диагонали дает многочлен со старшим членом , т.е.

и называется характеристическим многочленом. Корни этого многочлена – собственные значения или характеристические числа матрицы A.

Числа называются коэффициентами характеристического многочлена.

Сущность метода Данилевского заключается в приведении векового определителя к так называемому нормальному виду Фробениуса

(1)

Если удастся записать вековой определитель в такой форме, то, разложени его по элементам первой строки будет иметь вид:

Таким образом, задача сводится к нахождению матрицы D в форме Фробениуса, подобной матрице A, так как собственные числа инвариантны относительно операции подобия.

Процедура последовательно преобразует строки исходной матрицы, начиная с последней, к виду (1). При этом преобразование осуществляется таким образом, чтобы полученные матрицы были подобны.

Опишем начало процесса.

Вначале необходимо строку исходной матрицы a

an,1 an,2...an,n-1, an,n

привести к виду 0 0... 1 0. Предполагая, что an,n-1не равно нулю, разделим все элементы (n-1)-го столбца матрицы а на an,n-1.

Тогда её n-я строка примет вид

an,1 an,2... 1, an,n

Затем вычтем (n-1) –й столбец преобразованной матрицы, умноженный соответственно на числа an,1 an,2..., an,n, из всех остальных её столбцов. В результате получим матрицу, последняя строка которой имеет желаемый вид

0 0 … 1 0.

Эти же преобразования произведём над матрицей m, полученной путём копирования единичной матрицы.

mn-1,i = -an,i/an,n-1 при i≠n-1 и mn-1,n-1 = 1/an,n-1 (2)

 

Используя правило умножения матриц, найдём матрицу b:

 

bi j=ai j - ai n-1an i / an n-1 при i=1,..,n; j ≠n-1; bi n-1=ai n-1 / an n-1, при i=1,..,n (3)

Последняя строка построенной матрицы B будет удовлетворять нашим условиям, но не будет подобна матрице a, поэтому проведем еще одно преобразование и получим матрицу c, подобную a и сохраняющую последнюю строку:

сi j=bi j при i=1,..,n-2 cn-1 j=an 1b1 j+an 2b2 j+... +an nbn j при j=1,...,n (4)

Таким образом получили матрицу c, подобную a и с последней строкой как в матрице приведённого вида Фробениуса. Продолжая этот процесс, приняв за исходную матрицу матрицу с, преобразуем аналогично (n-2) -ю строку матрицы с и т.д.

Преобразования методом Данилевского нельзя продолжить, когда делитель в (2) равен нулю. Эти случаи в курсовой работе не рассматриваются, а программа выдаст предупреждающее сообщение и завершится.

 


1 | 2 | 3 | 4 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)