АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Определение производной

Читайте также:
  1. A. Определение элементов операций в пользу мира
  2. I. Определение потенциального валового дохода.
  3. I. Определение, классификация и свойства эмульсий
  4. II. Определение геометрических размеров двигателя
  5. II.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ЛА
  6. IV. Определение массы вредных (органических и неорганических) веществ, сброшенных в составе сточных вод и поступивших иными способами в водные объекты
  7. IX. Определение размера подлежащих возмещению убытков при причинении вреда имуществу потерпевшего
  8. P.2.3.2.1(с) Определение удельной теплоемкости твердых тел
  9. V. Предварительное определение хозяйства
  10. VIII. Определение размера страховой выплаты при причинении вреда жизни и здоровью потерпевших
  11. Б) Определение жёсткости
  12. Биотехнологии: общее определение

Методические указания к проведению лекционного занятия

Тема № 3.1. Производная функции

План:

1. Определение производной

2. Производные основных элементарных функций

3. Правила дифференцирования

4. Геометрический и механический смыслы производной

5. Уравнения касательной и нормали к графику функции

6. Производная сложной функции

7. Логарифмическая производная

8. Производная обратной функции

9. Производная функции, заданной в параметрическом виде

10. Производная неявной функции

Определение производной

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Производной функции в точке называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если предел существует и конечен, т.е.

, (1)

где .

Иногда производную обозначают не только штрихом, но и указывают в виде нижнего индекса переменную, по которой берется производная, т.е. пишут .

Операция вычисления производной функции называется дифференцированием функции.

Пример. Используя определение, найти производную функции в точке .

Решение. Запишем приращение функции

.

Замечание. Предел (1) в точке может не существовать или быть бесконечным. В этом случае функция не имеет производной в точке . Если предел (1) равен , или , то говорят, что функция имеет бесконечную производную в точке .

 

Пример. Используя определение, найти производную функции в точках: а) ; б) , если она существует.

Решение. По формуле (1):

а) . Следовательно, .

б) , т.е. в точке не существует конечной производной функции .

Пример. Показать, что функция не имеет производной в точке .

Решение. Известно, что . Найдем

Пределы справа и слева в точке существуют, конечны, но не равны между собой, поэтому предел в точке не существует. Следовательно, функция не имеет производной в этой точке (рис.1).

 
 

 
 
Рис. 1. График функции  

 

 


Замечание. Если функция определена на некотором отрезке , то под ее производной в точках и принимают соответственно предел справа или предел слева отношения

при ().

Если функция определена на некотором числовом промежутке и существует в каждой точке этого промежутка, то формула

определяет производную как функцию аргумента x (а не число!).

В дальнейшем при дифференцировании функции, если не указана точка, будем находить производную для всех допустимых значений аргумента x и записывать её в виде или .


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)