Властивості функцій, неперервних на відрізку

Властивість 1: (Перша теорема Вейєрштраса (Вейерштрас Карл (1815–1897) – німецький математик)). Функція, неперервна на відрізку, обмежена на цьому відрізку, тобто на відрізку [ a, b ] виконується умова .

Доведення цієї властивості засноване на тому, що функція, неперервна в точці х ₀, обмежена в деякому її околі, а якщо розбивати відрізок [ a, b ] на нескінченну кількість відрізків, які “стягаються” до точки х ₀, то утвориться деякий окіл точки х ₀.

Властивість 2: Функція, неперервна на відрізку [ a, b ], приймає на ньому найбільше й найменше значення.

Тобто існують такі значення х ₁ і х ₂, що f (x ₁) = m, f (x ₂) = M, причем

Відзначимо, що ці найбільші й найменші значення функція може приймати на відрізку й кілька разів (наприклад – f (x) = sin x).

Різниця між найбільшим і найменшим значенням функції на відрізку називається коливанням функції на відрізку.

Властивість 3: (Друга теорема Больцано-Коші). Функція, неперервна на відрізку [ a, b ], приймає на цьому відрізку всі значення між двома певними величинами.

Властивість 4: Якщо функція f (x) неперервна в точці х = х ₀, то існує деякий окіл точки х ₀, у якій функція зберігає знак.

Властивість 5: (Перша теорема Больцано(1781–1848)-Коші). Якщо функція f (x) – неперервна на відрізку [ a, b ] і має на кінцях відрізка значення протилежних знаків, то існує така точка усередині цього відрізка, де f (x) = 0.

Тобто, якщо sign(f (a)) ¹ sign(f (b)), то $ х ₀: f (x ₀) = 0.

Визначення. Функція f (x) називається рівномірно неперервною на відрізку [ a, b ], якщо для кожного e > 0 існує D > 0 таке, що для будь-яких точок х ₁Î[ a, b ] і x ₂Î[ a, b ] таких, що

ï х ₂ – х ₁ï< D

вірна нерівність ï f (x ₂) – f (x ₁)ï < e

Відмінність рівномірної неперервності від “звичайної” у тім, що для кожного e існує своє D, що не залежить від х, а при “звичайній” неперервності D залежить від e і х.

Властивість 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845–1918) – німецький математик). Функція, неперервна на відрізку, рівномірно неперервна на ньому.

(Ця властивість справедлива тільки для відрізків, а не для інтервалів і напівінтервалів.)

Приклад.

Функція неперервна на інтервалі (0, а), але не є на ньому рівномірно неперервної, тому що існує таке число D>0 таке, що існують значення х ₁ і х ₂ такі, щоï f (x ₁) – f (x ₂)ï> e, e – будь-яке число за умови, що х ₁ і х ₂ близькі до нуля.

Властивість 7: Якщо функція f (x) визначена, монотонна й неперервна на деякому проміжку, то й обернена їй функція х = g (y) теж однозначна, монотонна й неперервна.

Приклад. Досліджувати на неперервність функцію й визначити тип точок розриву, якщо вони є.

у точці х = –1 функція неперервна в точці х = 1 точка розриву 1-го роду

у

–4 –1 0 1 х

Приклад. Дослідити на неперервність функцію й визначити тип точок розриву, якщо вони є.

у точці х = 0 функція неперервна в точці х = 1 точка розриву 1-го роду

у

–p –p/2 0 1 x

Поиск по сайту: