ТЕЧЕНИЕ ГАЗА

Инженерные расчеты течения газа в элементах пневмосистем сводятся к расчетам, связанным с истечением газа из резервуаров (баллонов) и с запол­нением их, а также с течением по трубопроводам пневмосистем и через мест­ные сопротивления.

Эти расчеты в силу сжимаемости воздуха представляют известные труд­ности, обусловленные тем, что течение его в трубопроводах пневмосистем и каналах их агрегатов сопровождается, как это было указано, изменением давления и удельного объема. Ввиду этого при расчетах исходят из условия, что при установившемся процессе течения массовый расход воздуха т через любое поперечное сечение трубопровода площадью /, остается постоянным, в соответствии с чем массовый расход определяется из уравнения сплош­ности (неразрывности) потока

по пути течения воздуха по трубопроводу не сохраняется, а увеличивается вследствие расширения, вызванного понижением давления при течении согласно выражению (71), средняя скорость воздуха по длине трубопро­вода и = Q/f также будет возрастать. При этом вследствие расширения воздуха происходит также изменение его температуры, что и должно быть учтено при расчетах.

В основу расчетов течения газа в элементах пневмосистем положено известное из курса «Гидрогазодинамика» уравнение движения идеального газа в адиабатном режиме

Истечение газа из резервуара неограниченной емкости. Расчеты исте­чения газов (воздуха) из резервуаров неограниченной и ограниченной ем-

кости и наполнения последних являются основными в расчетах пневмо­систем. Истечение газа в общем случае имеет место при разрядке гидроакку­муляторов, при опорожнении пневмоцилиндров и пр.

Принимая в уравнении (75) и_х = 0 (т. е. пренебрегая скоростью газа в расходном резервуаре), находим расчетную скорость истечения газа u₂ = и из резервуара а неограниченной (бесконечной большой) емкости (рис. 222, а) через, круглое отверстие (или насадок) в стенке при адиабатном процессе:

Для течения идеального газа имеем

Подставив эти значения в уравнение (76) и преобразовав, получим

Массовый расход т газа, протекающего со скоростью и через отверстие площадью f, кг/сек:

где T_a — температура газа на входе в дросселирующее отверстие в К.

Приведенные расчеты произведены без учета потерь, обусловленных трением, теплообменом и прочими факторами. Учет этих потерь обычно производят, принимая, что процесс протекает по политропному режиму. В этом случае расход газа рассчитывают по выражению (81) с заменой пока­зателя адиабаты k на показатель политропы п, значение которого прини­мают равным п — 1,3 - 1,35.

Потери на трение учитывают часто коэффициентом расхода \х вводя его в приведенную формулу (81) для адиабатного процесса.

В результате получают формулу для массового расхода с учетом трения

Критическое расширение газа. Максимальный массовый расчетный расход газа соответствует условию равенства _ж нулю производной в урав­нении (80).

Максимальный расчетный расход соответствует критическому расши­рению газа (критическому отношению давлений)

при котором скорость истечения по уравнению (78) становится равной ско­рости звука в газе при параметрах последнего, соответствующих параметрам на выходе из дросселирующего сопла [см. уравнение (77)].

Параметры критического расширения, при котором имеет место наиболь­ший расход, получим путем исследования функции

на максимум, в результате чего будем иметь

Для адиабатного процесса х_кр = 0,528. Это условие соответствует скорости течения, равной местной скорости распространения звука.

Приведенные теоретические расчеты истечения через отверстие при допу­щении адиабатного режима могут быть с достаточной точностью применены и для практических расчетов истечения через короткий насадок, при котором можно пренебречь силами трения, а также вследствие кратковременного нахождения газа в насадке пренебречь и теплообменом с окружающей средой.

Анализ функции

показывает [см. также равенство (85)], что имеются две зоны (области) тече­ния:

зона, соответствующая рассмотренному выше условию х_кр <^х <С 1, ко­торая носит название зоны докритического (подкритического) течения (ско­рость газа в этой зоне ниже скорости звука);

зона, соответствующая условию 0<^x<^x_KF, которая носит название зоны надкритического течения (скорость газа в этой зоне постоянна и близка или равна скорости звука).

В соответствии с этим различают процессы, протекающие в подкрити-ческом (ниже критического) и надкритическом режиме.

В надкритической зоне имеет место максимальный и постоянный мас­совый расход, соответствующий критическому расширению газа. Формулу для определения расхода в этой зоне получим, подставив в уравнение (80) значение критического расширения газа

С учетом потерь на трение

где μ — коэффициент расхода (см. выше).

График изменения расхода т, отложенного по оси ординат, в функции

показан на рис. 223, а. В надкритической зоне (x < 0,528) имеем постоян­ный и максимальный массовый расход, в подкритической — переменный расход, уменьшающийся с увеличением х.

Пользуясь приведенными уравнениями, покажем, что расход газа при истечении его со скоростью распространения звука в газе (соответствует и_кр) является максимальным.

Очевидно, максимальному расходу, выражаемому уравнением (86), соот­ветствует максимальная (критическая) скорость истечения газа согласно уравнению (78):

или с учетом уравнения (85)

Преобразуя уравнения (85) и (77), получим

а затем критическую скорость истечения

Из сравнения уравнений (88) и (74а) следует, что максимальная (крити­ческая) скорость газа (а следовательно, и максимальный его массовый рас­ход) имеет место при скорости звука в газе

Опорожнение резервуаров ограниченной емкости. В инженерной практике в основном приходится производить расчеты, связанные с опорожнением и наполнением резервуаров (баллонов) ограниченной емкости. К этим случаям относятся опорожнение газовых баллонов в процессе питания пнев-мосистем, наполнение или опорожнение пневмоцилиндров и пр.

Истечение газа из резервуара ограниченной емкости характеризуется тем, что при ограниченной емкости резервуара параметры истекающего газа будут переменными по времени.

Рассмотрим процесс опорожнения баллона b объемом V_o через отверстие площадью / (рис. 222, б). Дифференциальное уравнение истечения газа из такого баллона составляют исходя из условия, что масса т газа, проте­кающего через заданное поперечное сечение отверстия за некоторый отрезок времени, равна изменению массы dm = V_o dp,- (где V ₀ — объем баллона, Pi — текущее значение плотности газа) газа в баллоне за то же время.

Пусть в некоторый отрезок времени с момента открытия отверстия (насадка) опоражниваемого баллона абсолютное давление в баллоне было равно Pi и плотность газа в нем р_£. Элементарная масса dm газа, прошедшая через это отверстие площадью/ за отрезок времени dt, равна согласно урав­нению (80)

где pi и ρi — текущие значения давления и плотности газа в баллоне.

Выражая текущие параметры газа p_t и р^ через начальные их значения р₀ и р₀, имевшие место в баллоне перед началом истечения, и полагая, что изме­нение этих параметров внутри баллона при его опорожнении (истечении газа)подчиняется некоторой политропной зависимости с показателем политропы n, получим

Подставив уравнение (90) в уравнение (89), получим

Составим теперь выражение для изменения массы газа в баллоне за тот же отрезок времени dt. Эта масса в момент времени t равна т = V₀ ρi , а следовательно,

где V_o — объем баллона.

С учетом уравнения (90) получим

Приравняв уравнения (91) и (92), получим (с учетом знака) дифферен­циальное уравнение опорожнения рассматриваемого баллона ограниченной емкости V_o

Для интегрирования этого уравнения (при / = const) произведем пре­образование:

После преобразований получим

Подставив ψ_max в дифференциальное уравнение (93), получим

Интегрируя в пределах от р₀ до p_t и от t == 0 до t, имеем

Преобразуя, получим уравнение для вычисления времени t частичного опорожнения баллона для заданного условия понижения давления в бал­лоне с начального р₀ до заданного р_л для режима, соответствующего надкри­тической области, когда p₀>Pi>Р₂/х_кр:

Полное время истечения в надкритической области, соответствующее понижению давления от р₀ до Р₂/х_кр вычисляется путем подстановки в урав­нение (94)

в результате чего после преобразований получим

Аналогичным путем можем получить дифференциальное уравнение исте­чения в подкритической области для понижения давления до p_i

Ввиду сложности функции это уравнение обычно решается графо-аналитическим путем и здесь не рассматривается.

Наполнение резервуара ограниченной емкости. К случаям наполнения резервуаров ограниченной емкости относятся наполнение пневмоцилиндров пневмосистем, зарядка газогидравлических аккумуляторов и пр. При запол­нении сжатым воздухом какой-либо емкости воздух в начальный момент, когда давление в заполняемой емкости минимальное, течет, расширяясь с максимальной скоростью, которая, по мере выравнивания давления в питаю­щей магистрали и заполняемой емкости понижается, достигая при полном выравнивании этих давлений нулевого значения. Очевидно, при этом будет переменной вследствие расширения воздуха и его температура, причем изме­нения ее могут происходить в широком диапазоне.

Пусть к емкости d с неограниченным объемом и постоянным давлением р₂ подключается емкость (баллон) с с объемом V_o и давлением р₀ <Ср₂ (рис. 223). При этом допускаем, что объем источника расхода d настолько велик, что, изменением давления и изменением скорости перемещения частиц газа в нем при заполнении емкости с можно пренебречь.

Определим время повышения давления в подключаемом баллоне с р₀ до Pi ⁼ Р₂ т. е. определим время выравнивания давления между источником расхода и заполняемым баллоном.

Пусть в момент времени t давление в баллоне будет p_t, плотность газа в струе р и скорость и. Масса dm газа, втекающая в баллон через отверстие постоянного сечения f за время dt, составит

где и — скорость газа, определяемая по уравнению (78).

Решая дифференциальное уравнение (95) с учетом скорости и и функций

получим уравнение для элементарной массы dm газа, протекающей через поперечное сечение / струи за элементарный отрезок времени dt:

где Т₂ — абсолютная температура газа, вычисленная по характеристиче­скому уравнению (73).

Составим теперь уравнения для изменения массы газа в резервуаре за тот же промежуток времени dt

:

Исследования показывают, что процесс наполнения резервуаров (балло­нов) изменяется от адиабатного в начале наполнения до изотермного в конце наполнения, в результате температура в резервуаре постепенно стремится от T_t к Т₂. Полагая Т_i ≈T₂, получим

При этом

С учетом последнего равенства уравнение (97) примет вид

Приравняв правые части уравнений (96) и (98), получим

откуда

Принимая во внимание, что

получим

Интегрируя это уравнение в пределах

получим с учетом характера протекающего процесса (над- или подкритический) искомое время наполнения:

Фактически истечение будет происходить не по адиабатному, а по поли-тропному циклу, ввиду чего для расчетов необходимо зиать показатель поли­тропы. Опыт показывает, что если опорожнение (или наполнение) емкости происходит через отверстие (дроссель) или короткий патрубок, при котором заметного теплообмена с внешней средой не происходит, показатель поли­тропы будет близок к показателю адиабаты п ≈ & k и

С уменьшением показателя поли­тропы п значение Р₂/Р₁ возрастает, дости­гая при п = 1

Течение газа в трубопроводе. Важным для практики является также

расчет течения воздуха (газов) в трубопроводе.

Для вывода дифференциального уравнения установившегося течения

газа в трубопроводе выделим элементарный отрезок его длиной dx (рис. 224, а) и, применив к эле­ментарному объему газа dV = ~fdx, показанному точечной штриховкой, уравнение коли­чества движения (неравномер­ностью распределения скоро­стей по сечению трубопровода пренебрегаем), напишем

Преобразуем правую часть уравнения

С учетом неразрывности

уравнение (99) принимает вид

Для турбулентного режима течения, при котором средняя скорость потока и давление в каждом его сечении сохраняются практически постоянными (соответствует установившемуся режиму течения), можно принять β = 1 и соответственно

В результате получим

Подставив касательное напряжение сдвига слоев жидкости

получим дифференциальное уравнение течения газа в трубопроводе

где λ — коэффициент сопротивления трения [этот коэффициент можно рас­считать по выражению (17) при условии подстановки средних значений входящих в него параметров].

Проинтегрировав' приведенное дифференциальное уравнение с учетом заданного газового процесса, получим уравнение установившегося течения газа в трубопроводе с учетом трения.

Расчеты и опыт показывают, что вследствие теплообмена течение газа может быть близким к адиабатному лишь при очень коротких отрезках тру­бопроводов (в местных сопротивлениях) и при больших перепадах давления (расширениях газа). При длинных же трубопроводах этот процесс в обычных условиях более близок к изотермному, а при известной длине трубопроводов является изотермным, т. е. температура газа в этом случае сохраняется практически постоянной по всей длине трубопровода. В соответствии с этим при длинных трубопроводах, и в особенности при малых перепадах давления, справедлива изотермная зависимость

Кроме того, из условия неразрывности потока

В соответствии с этим первый член уравнения (101) примет вид

Кроме того, так как

в рассматриваемом процессе практически не изменяется по длине трубо­провода (uр = const, μ = const, относительная шероховатость трубы k/d = const), то постоянным по длине трубопровода будет также и коэффициент трения λ,

С учетом этого интегрирование дифференциального уравнения (101) по ллине L отрезка трубопровода даст (рис. 224, б)

Так как логарифмический член в скобках, последнего уравнения мал по сравнению с Х-^-, то этим членом обычно пренебрегают. В результате получим упрощенное выражение

Из этого уравнения следует, что при течении газов падение давления по длине трубопровода выражается степенной зависимостью, а не линейной, как это имеет место при течении жидкостей, что видно из уравнения (16).

Введя в уравнение (102) число Маха

Уравнение (103) позволяет рассчитать давление в трубопроводе на тре­буемом расстоянии L от начального (исходного) сечения, для которого задано число Маха.

Решая уравнение (103) относительно λ*L/D, получим

Последнее уравнение показывает изменение безразмерной длины LID трубопровода в функции отношения давлений газа Р₂/Р₁

Пренебрегая логарифмическим членом, уравнение (104) можно пред­ставить в виде

С учетом числа Маха дифференциальному уравнению (101) можем при­дать иную форму, подставив

При этом получим

Общий характер изменения давления р по длине трубопровода показан на рис. 223, б. Течение газа может существовать лишь на участке кри­вой а — b. Отрезок кривой b — с соответствует сверхзвуковому течению. Точка Ъ называется предельной точкой. Число Маха для состояния потока газа в этой точке называется предельным числом Маха М_пр. Соответственно этому существуют предельное (низкое) давление р_пр и предельная наиболь­шая длина L_np.

Поскольку в предельной точке (сечении трубопровода) b

знаменатель уравнения (105) будет равен нулю, и предельное число Маха

Следовательно, скорость воздуха в трубопроводе может возрастать лишь до тех пор, пока число Маха не достигнет в предельном сечении, которое должно находиться в конце трубопровода, значения

Для нахождения минимального предельного давления в трубопроводе, соответствующего этому условию, воспользуемся равенством.

с учетом которого получим

откуда

Подставив из последнего равенства р_пр в уравнение (104), получим

или

С учетом равенства

можем получить

Из приведенного анализа следует, что скорость течения газа (и число

Маха) возрастает до наибольшей (предельной) величины (M_np = 1/√k) в некоторой предельной точке, которая должна быть в конце трубопровода. Максимальный расход газа при течении в режиме

имеет место при М = 1. При М > 1 давление в потоке по длине трубопро­вода и скорость потока не зависят от давления в конце трубопровода. В этом случае силы трения затормаживают поток (скачок уплотнения), ввиду чего течение со сверхзвуковой скоростью возможно лишь в пределах определен­ной (критической) длины трубопровода. Если длина трубопровода превышает это значение, то в некотором его сечении возникает скачок уплот­нения, в результате которого сверхзвуковая скорость скачкообразно перей­дет в дозвуковую. После этого скачка уплотнения характер течения газа изменится: скорость вдоль трубопровода вновь увеличивается, а давление и плотность газа уменьшаются.

Предельное отношение давлений (расширение газа) Р₂/Р₁ и предельная длина L_np зависят лишь от показателя адиабаты k (от начального числа Маха). Соответственно минимальное предельное давление р_пр в трубопроводе и предельную (наибольшую) длину трубопровода L_np можно выразить так:

Практически в трубопроводах реальных длин критическая степень рас­ширения х_кр не достигается, т. е. течение газа по трубопроводам длиной больше L_np происходит в зоне докритического режима течения.

Наполнение пневмоцилиндра газом через длинный трубопровод. Рассмо­трим схему подвода воздуха к пневмоемкости, показанную на рис. 224, в. Воздух из воздухосборника (ресивера) / направляется по трубопроводу 2 в пневмоцилиндр 3.

При течении газа по этой схеме можно выделить три участка: 1) истечение из воздухосборника в трубопровода 2) течение по трубопроводу; 3) истечение из трубопровода в цилиндр. Соответственно этому должны быть составлены уравнения, дающие систему, подлежащую решению. Задача получается сложной, ввиду чего рассмотрим приближенное решение со следующими допу­щениями: давление р_а при входе в трубопровод (сечение а — а) равно давле­нию р₀ в воздухосборнике и течение в трубопроводе изотермное.

Обозначив через т массовый расход воздуха, получим:

1) скорость газа в сечении а — а согласно уравнению (79)

2) массовый расход, вычисляемый по параметрам сечений b — b и с — с согласно уравнению (79):

3) связь между давлениями р_а и р_ь согласно уравнению (101)

Последнее уравнение вместе с уравнением (107) представляет систему уравнений с двумя неизвестными р_ь и т, к решению которой и сводится наша задача.

Приближенные расчеты течения газа в трубопроводах. Выше было ука­зано, что при достаточно длинных трубопроводах показатель политропы в силу сопротивлений при течении газа близок (даже в случае полной тепло­вой изоляции) к единице.

Если принять, что температура будет сохраняться постоянной, то посто­янной будет также и вязкость. воздуха, а следовательно, и Re, значение которого необходимо для вычисления коэффициента сопротивления трения к по выражению (17).

С учетом указанного для приближенных расчетов потерь напора по длине трубопровода может быть применена известная формула гидравлики (1,4) с подстановкой средних значений входящих в нее параметров. При пользо­вании этой формулой газ условно представляется в виде несжимаемой жид­кости, имеющей некоторые средние параметры:

Расчеты показывают, что течение воздуха в каналах пневмосистемы носит обычно турбулентный характер (Re > 2300), в соответствии с чем коэффициент к вычисляют по тому же выражению, что и при расчетах кана­лов гидросистем.

В практике при 2300 < Re < 10⁸ часто применяют также эмпирическую формулу, учитывающую шероховатость поверхности трубопровода:

Величина Re, входящая в эту формулу, рассчитывается в данном случае по уравнению (11), которое при подстановке массового расхода

и средних значении входящих параметров примет вид

Приняв приближенно

уравнение (108) можно представить в виде

где R — газовая постоянная при средних значениях давления р_ср и темпе­ратуры

Течение газа через местные сопро­тивления. Местные сопротивления в си­стеме пневмопривода, как и в системе гидропривода, играют важную роль, так

как от правильности оценки параметров потока воздуха, протекающего через местные сопротивления, зависят точность и надежность расчетов пневмосистем.

В отличие от течения жидкости, при котором энергия потока, расходуемая на преодоление сопротивлений, превращается в тепловую энергию без после­дующего обратного превращения ее в механическую энергию, механическая энергия при течении потока воздуха, преобразовываясь в тепловую, частично или полностью поглощается самим потоком (происходит перераспределение энергии). Ввиду этого механическая энергия потока воздуха, израсходован­ная на преодоление сопротивлений, не является безвозвратно потерянной энергией, иначе говоря, полная энергия потока сохраняется неизменной, если пренебречь теплообменом между потоком и окружающей средой.

Расчет местных сопротивлений пневмосистемы производится в общем случае по уравнению (84). Однако ввиду сложности этого уравнения часто пользуются при вычислении расхода газа через местное сопротивление при­ближенным равенством (109).

Для определения потерь напора в местных сопротивлениях пользуются в общем случае известным из гидравлики выражением (19).

Пользуясь законом неразрывности потока и полагая процесс дросселирования в местных сопротивлениях политропным, получим в результате преобразований формулу для массового расхода воздуха

Показатель политропы можно определить, считая расширение политропным:

где Т_к — конечная температура газа при расширении (определяется по Т —S-диаграмме для данного газа).

Дроссели. Наиболее распространенным местным сопротивлением яв­ляется дроссель, с помощью которого изменяется сопротивление проходу рабочей среды (воздуха) и регулируется расход этой среды. С помощью дросселя также создаются элементы пневмоавтоматики, в которых произ­водится суммирование давлений, а также пропорциональное изменение одного давления в зависимости от другого и пр.

Конструктивно дроссели пневмосистем подобны дросселям гидросистем. В частности, распространены дроссели в виде отверстия в шайбе (см. рис. 107, а). Массовый расход воздуха через подобный дроссель является при М <; 1 функцией отношения давлений газа pjpi в дросселирующем элементе (здесь М число Маха):

где р_г и р₂ — давления перед дросселирующим элементом" и после него

(на выходе из дросселя).

Принимая, что процесс течения газа через такой дроссель сечением f (см. рис. 77, а) адиабатный, фактический массовый расход m газа можно вычислить:

Значение μможет быть вычислено по формулам для несжимаемой жид­кости (см. стр. 32). Практически режим течения газа через дроссели квад­ратичного типа (см. рис. 77) является турбулентным. Так, принимая Re_Kp = 2300, можно показать, что для шайбовых дросселей турбулентный режим при возможных перепадах давления будет наблюдаться при d > 0,2 мм.

Вследствие некоторой сложности расчетов по уравнению (80) пользуются приближенной зависимостью, полученной исходя из того, что функция

достаточно точно аппроксимируется функцией

В соответствии с этим массовый расход газа через дроссель

Критическое отношение давлений газа, при котором имеет место макси­мальный его расход,

Для адиабатного процесса значение этого расширения равно, как это было указано

Пользуются также расчетной формулой, полученной путем преобразо­вания формулы (83) с учетом изотермного процесса:

Описываемая последним выражением функция расширения газа имеет значе­ние Р₂/Р₁ = 0,5, что достаточно близко к значению Р₂/Р₁ = 0,528, соответствующему формуле.

Применяются также дроссели, в которых расход регулируется изменением длины дроссельного канала. Наиболее распространенной конструкцией такого дросселя является винтовой дроссель (см. рис. 76, а).

Подобные дроссели обладают важным для практики положительным качеством — стабильностью регулирования, заключающейся в том, что при повторных установках дросселя в одно и то же положение расходная харак­теристика его сохраняется практически неиз­менной. В дросселях этого типа может иметь место при небольших перепадах давления ламинарный режим течения, характеристика которого определяется уравнением Пуазейля

где р — плотность воздуха, которую обычно принимают постоянной; μ — динамическая вязкость воздуха.

Последовательное соединение дросселей. Путем последовательного и
параллельного соединения дросселей создаются элементы пневмоавтоматики.
На рис. 226 представлена схема одного из таких элементов, получившего
название пневмокамеры, которая представляет собой проточную камеру,
образованную двумя последовательно расположенными дросселями площадью f₁ и f ₂- Эта камера обладает свойством пропорционального редуциро­вания давлений, благодаря чему она входит как основной элемент в схемы многих приборов пневмоавтоматики.

Допустим, что во входном дросселе площадью /_х имеет место подкрити-ческий процесс течения. В этом случае расход через этот дроссель опреде­лится по уравнению

где р ₀ и ρ ₀ — заданное давление и плотность газа перед дросселем пло­щадью f_t;

p₁ — давление в проточной камере а.

Предположим далее, что в выходном дросселе площадью f ₂ имеет место надкритический процесс истечения. Расход через дроссель f ₂ в этом случае определится по уравнению

где р₁ — плотность газа в камере а.

Приравнивая расходы и возводя обе части равенства в квадрат, а также учитывая, что

Получим

Следовательно, при подкритическом процессе в дросселе площадью f₁ и при надкритическом процессе в дросселе площадью f ₂ отношение абсолют­ного давления p₂ в проточной камере а к абсолютному входному давлению р₀ определится отношением площадей этих дросселей f ₂/ f₁.

При надкритическом процессе в обоих дросселях имеет место

По аналогии с электрическим потенциометром пневмокамера называется пневматическим потенциометром.

Схема рассмотренного дроссельного элемента положена в основу ряда автоматических приборов, обладающих свойствами пропорционального реду­цирования (см. рис. 244, а и 253, в).

Поиск по сайту: