Решение. 1). Область определения , область значений , так как функция дробно-рациональная

1). Область определения , область значений , так как функция дробно-рациональная.

2). Функция непрерывна на области определения как дробно-рациональная функция. Так как функция не определена в точке , то исследуем поведение функции в этой точке (вычисляем односторонние пределы):

Найденные пределы показывают, что – точка разрыва второго рода.

3). Функция общего вида, так как и .

4). Прямая – вертикальная асимптота (так как – точка разрыва второго рода).

Находим наклонную асимптоту к графику функции

, ,

, .

Прямая , то есть – наклонная асимптота к графику функции.

5). Исследуем функцию на монотонность. Согласно необходимому условию точки экстремума, находим производную функции

.

Приравнивая найденную производную к нулю, получаем

Точки , – стационарные точки (в них производная обращается в нуль). Они же являются точками возможного экстремума. Точка не является точкой, подозрительной на экстремум, так как в ней функция не определена.

Исследуем знаки производной по методу интервалов. Всю числовую ось разбиваем на четыре интервала точками 0, 1, 2. На каждом из получающихся интервалов берем по одной точке и подставляем в производную:

, ,

, .

Знак производной в конкретной точке показывает знак производной на всем интервале, из которого взята данная точка. Например, так как , то при производная положительна, а значит, функция строго возрастает.

Из метода интервалов следует, что функция строго возрастает при , строго убывает при .

Согласно первому достаточному признаку точки экстремума – точка максимума (, ), – точка минимума (, ).

6). Исследуем функцию на выпуклость. Находим вторую производную

.

Итак,

.

Так как вторая производная в нуль не обращается, то функция не имеет точек перегиба.

При : (функция выпукла вверх), при : (функция выпукла вниз).

7). При имеем (контрольная точка – точка максимума). При уравнение не имеет действительных корней (график функции не пересекает ось абсцисс). Далее имеем контрольные точки (точка минимума), , .

8). Для построения графика составим сводную таблицу.

Значения
Характер монотонности	↑	max	↓	не сущ.	↓	min	↑
Характер выпуклости				не сущ.
Значения функции		–1		,

График функции изображен на рисунке 2.

Рис. 2

Пример 3. Исследовать функцию и построить ее график.

Поиск по сайту: