АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Вопрос №2. Основные числовые множества. Некоторые свойства действительных чисел. Геометрическая интерпретация действ чисел. Окрестность точки

Читайте также:
  1. B. Взаимодействие с бензодиазепиновыми рецепторами, вызывающее активацию ГАМК – ергической системы
  2. I. ОСНОВНЫЕ ФАКТОРЫ
  3. I. Понимание при действии
  4. I. Постановка вопроса
  5. I. Типичные договоры, основные обязанности и их классификация
  6. II. Взаимодействие Сторон
  7. II. Внешние условия действительности завещания
  8. II. Гражданская ответственность за недозволенные действия (правонарушения)
  9. II. Действительность и недействительность юридических сделок; виды последней
  10. II. Основные моменты содержания обязательства как правоотношения
  11. II. Основные направления работы с персоналом
  12. II. Основные принципы и правила служебного поведения государственных (муниципальных) служащих

Вопрос №1: Множества. Основные понятия. Операции над множествами.

Понятия «множество», «элемент» и понятие «принадлежности» являются первичными (исходными) в математике и не определяются через другие более простые понятия. Можно дать лишь некоторые пояснения этих понятий.

Множество – набор, совокупность, собрание каких-либо объектов производной природы, называемых его элементами (синонимы: класс, семейство, набор, система и т.д.).

Обозначение: множества принято обозначать заглавными буквами латинского или греческого алфавитов (A,B…; ,…), а их элементы – малыми буквами тех же алфавитов ( …; …).

Принадлежность элемента a к множеству А записывается с помощью знака принадлежности : (или – множество А содержит ). Если не принадлежит B, то пишут .

Определение Множество называется подмножеством множества B (множество А включено в множество B), если все элементы множества А принадлежат множеству B: (или ) { } { }. Символ называется символом включения.

Замечание. Включение (символ ) и принадлежность (символ ) – разные понятия.

Определение Множество А равно множеству B (при этом пишут А=В), если и (т.е. множества А и В состоят из одних и тех же элементов): { }.

Определение Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными (например, множество малых букв латинского алфавита).

Определение Множество называется бесконечным, если для любого натурального числа n в этом множестве имеются элементы, количество которых больше n.

Определение Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом .

Замечание. Пустое множество включено в любое множество.

Способы задания множеств.

10. Перечислением элементов.

20. Указания правила для определения принадлежности элементов множеству

Способы записи множеств.

10. , где … – элементы множества А.

20. , где множества А, – их индексы, – множество индексов.

30. , где за знаком «:» следует правило для определения принадлежности элементов множеству А.

Операции над множествами.

10. Объединением (суммой) множеств А и В называется множество , которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А,В: (при этом допускается, элемент принадлежит как множеству А, так и множеству В):



20. Пересечение (произведением ) множеств А и В называется множество , которое состоит из элементов, принадлежащих сразу обоим множествам А и В (то есть элементов, общих для этих множеств):

Определение: Разностью множеств А и В называется такое множество , которое состоит из тех же элементов множества, которые не принадлежа множеству В:

.

 

Определение: Пусть (В – подмножество множества А). Тогда множество называется дополнением множества В до множества А:

.

Простейшие свойства операций над множествами.

1.0

2.0

10 и 20 свойство называется коммутативностью соответствующей операции

3.0 ( = А С)

4.0 В) С = А С)

30 и 40 свойство ассоциативности соответствующей операции

5.0 В) С = (А С) С) свойство дистрибутивности

Вопрос №2. Основные числовые множества. Некоторые свойства действительных чисел. Геометрическая интерпретация действ чисел. Окрестность точки.

Основные числовые множества

= 1, 2, 3, ..., n, ... - множество натуральных чисел

= …, -n, …, -1, 0, 1, …, n, … – множество целых чисел

= , где – множество рациональных чисел

- множество всех действительных чисел ( множество иррациональных чисел)

Очевидно включение .

Наиболее часто используемые подмножества множества (здесь x, a, b ):

1.0 : a x b = a; b – отрезок 2.0 : a x b = (a; b) – интервал 3.0 : a x b =(a; b 4.0 : a x b = a; b) 30 и 40 полуинтервалы (конечные) 5.0 : x a = a; + ) 6.0 : x b = (- b 50 и 60 бесконечные полуинтервалы 7.0 : x a = (a; + 8.0 : x b = (- b) 9.0 : - + = (- ; + ) = 70,80,90 – бесконечные интервалы

Определение. Все подмножества множества , приведённые в пунктах 10 - 90 называются числовыми промежутками (или, короче, промежутками). Промежутки a; b , (a; b), (a; b и a; b) являются конечными, а промежутки ), (a; + ), (- ; b и (- ; + ) – бесконечными. Числа a и b называются их концами (левым и правым), а число (b-a) –длиной конечного промежутка.

‡агрузка...

Некоторые свойства действительных чисел.

1.0 Свойство упорядоченности: для справедливо одно из 3-х соотношений: либо a b, либо a=b, либо a b.

2.0 Свойство непрерывности. Пусть А и В – два произвольных непустых числовых множеств, обладающих свойством: неравенство a b справедливо для a A и В. Тогда для A, b .

3.0 Модуль действительного числа и его свойства.

Определение. Пусть a . Тогда модулем (абсолютной величиной) a называется неотрицательное число =

Свойства модуля:

1) + 2) - , ( ) - ) 3) = 4) = при b 0 5) Пусть b 0. Тогда ( ) b -b ( )a ( ) b

40. Геометрическая интерпретация множества . Окрестность точки.

Определение. Прямая, на которой выбраны направление, начало отсчёта (точка О) и масштаб, называется числовой осью.

Между множеством действительных чисел и точками числовой оси устанавливают взаимно-однозначное соответствие по правилу:

1) Числу m соответствует точка М с координатой m;

2) и обратно, каждой точке М числовой оси соответствует число m - координата этой точки.

Это соответствие позволяет геометрически множество изображать направленной (ориентированной) прямой, а отдельные числа – точками этой прямой. Поэтому совокупность действительных чисел часто называют числовой (или действительной) прямой, а отдельные числа – её точками.

Замечания. 1. В случае горизонтального расположения числовой оси направление (ориентацию) на ней обычно выбирают слева – направо – так, чтобы положительным числам соответствовали точки, расположенные справа от точки О, а отрицательные – слева от точки О. Поэтому (в соответствии с геометрической интерпретацией множества ) иногда вместо «а меньше b» (а больше b) говорят, что точка а лежит левее (правее) точки b.

2. В случае вертикального расположения числовой прямой направление на ней обычно выбирают снизу – вверх (положительным числам соответствуют точки, расположенные выше точки О, а отрицательным числам – ниже точки О).

Определение. Окрестностью 0) точки х0 числовой оси называется любой интервал (а; b), где а b, содержащий точку х0. В частности , интервал (х0 – δ, х0 + δ), где δ=const 0, симметричный относительно точки х0, называется -окрестностью точки х0 и обозначается δ0).

Определение. Проколотой окрестностью точки х0 называется множество точек 0) числовой оси, получаемое из окрестности 0) этой точки исключением самой точки х0.

Аналогично определяется проколотая -окрестность δ0) точки х0:

0) = 0) 0 ,

δ0) = 0) 0 ,

Определение. Полуокрестностью точки х0 называется любой интервал числовой оси которого является точка х0. При этом интервал -0) = (а; х0), где а х0, расположенный слева от точки х0 называется её левой полуокрестностью, а интервал +0) = (х0; b), где b х0, расположенный справа от точки х0, - её правой полуокрестностью.

Если полуокрестность имеет длину δ 0, то её называют δ – полуокрестностью:

- δ0) = (х0 – δ; х0) – левая δ – полуокрестность точки х0

+δ0) = (х0; х0 + δ) – правая δ – полуокрестность точки х0.

Множество М(∞) действительных чисел х, удовлетворяющих неравенству – фиксированное положительное число, называется М-окрестностью символа .

Бесконечный интервал М (-∞) = (-∞, М), где М , называется М-окрестностью символа (-∞).

Бесконечный интервал М(+∞) = (М; +∞), где М , называется М-окрестностью символа (+∞).


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |


При использовании материала, поставите ссылку на Студалл.Орг (0.191 сек.)