Непосредственное интегрирование (метод разложения)

С помощью свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов от элементарных функций становится возможным отыскание первообразных для несложных алгебраических выражений. Например,

В большинстве случае для приведения к табличным интегралам необходимо выполнить предварительное преобразование подынтегрального выражения:

Метод замены переменной

Если подынтегральное выражение является достаточно сложным, то привести его к табличному виду часто удается одним из основных методов интегрирования - методом замены переменной (или методом подстановки). Основная идея метода состоит в том, что в выражение вместо переменной x вводится вспомогательная переменная u, связанная с х известной зависимостью . Тогда подынтегральное выражение преобразуется к новому виду , т.е. имеем

Здесь, по правилу дифференцирования сложной функции, = .

Если, после такого преобразования, интеграл является табличным или значительно проще исходного, то замена переменной достигла своей цели.

Пример:

К сожалению, нельзя указать общих правил выбора «удачной» подстановки: такой выбор зависит от структуры конкретного подынтегрального выражения. В разделе 9.12 приводятся примеры, поясняющие различные способы выбора подстановки в ряде частных случаев.

Метод интегрирования по частям

Следующим основным общим методом является интегрирование по частям. Пусть u=u(х) и v=v(x) - дифференцируемые функции. Для произведения этих функций имеем, по свойству дифференциала:

d(uv) = v du + u dv или u dv = d(uv) - v du.

Интегрируя левую и правую части последнего равенства и учитывая свойство 3 неопределенного интеграла, получаем

Эта формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. Для ее применения фиксируется разбиение подынтегрального выражения на два сомножителя и и dv. При переходе к правой части формулы первый из них дифференцируется (при нахождении дифференциала: du=u'dx), второй интегрируется: . Такой прием приводит к цели, если интегрируется легче, чем .

Пример:

Иногда для получения результата формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз. Отметим, что при промежуточном вычислении можно не дописывать произвольную постоянную C; легко убедиться, что в ходе решения она уничтожится.

4. Интегрирование рациональных д робей