 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Свойство точной верхней (нижней) грани. Леммы о существовании рационального и иррационального числа между двумя вещественными числами
Множества и операции над ними. Свойства операций над множествами. Подмножества. Пустое множество. Декартово произведение множеств. Отображение, функция. Сюръективное, инъективное и биективное отображение. Обратное отображение.
Множества
! Множество – совокупность объектов одной природы.
Обозначаются: A,B,C…
a ∈ B – элемент a принадлежит множеству B
а ∉ B – элемент а не принадлежит множеству B
∀ - квантор общности
∃ - квантор существования
∃ а ∈ В – найдется элемент а принадлежащий множеству В
∃! – существует единственный
⇒ - отсюда следует
А ⇒ В
⇔ - необходимо и достаточно, тогда и только тогда
А ⇔ В:
1) А – необходимое условие В (В ⇒ А)
2) В – достаточное условие А (А ⇒ В)
Подмножества
! А ⊂ В ⇔ Множество А является подмножеством В если все элементы множества А входят в множество В. ⇔ А ⊂ В ⇔ ∀ а ∈ А ⇒ а ∈ В
! А = В ⇔ эти множества состоят из одних и тех же элементов ⇔
⇔ ∀ а ∈ А ⇒ а ∈ В и ∀ а ∈ В ⇒ а ∈ А
! ∅ ⇔ пустое множество, в нём нет ни одного элемента ⇔ ∀ А ∅ ⊂ А
Операции над множествами
1) Объединение
А ∪ В = С – элементы С принадлежат по крайней мере А или В
а ∈ С ⇔ а ∈ В или а ∈ А
Свойства:
1. А ∪ В = В ∪ А
2. А ∪ (В ∪ С) = (А ∪ В) ∪ С = (А ∪ С) ∪ В
3. А ⊂ В ⇒ А ∪ В = В
2) Пересечение
А ⋂ В = С – элементы С входят и в А, и в В одновременно
а ∈ С ⇔ а ∈ А и а ∈ В
Свойства
1. А ⋂ В = В ⋂ А
2. А ⋂ (В ⋂ С) = (А ⋂ В) ⋂ С
3. А ⊂ В ⇒ А ⋂ В = А
3) Вычитание
А \ В = С элементы С входят в А, но не входят в В
а ∈ С ⇔ а ∈ А и а ∉ В
4) Дополнение
(А ⊂ Е) Е \ А – дополнение множества А до множества Е.
Свойства операций:
1) А ∪ (В ⋂ С) = (А ∪ В) ⋂ (А ∪ С) – дистрибутивное
2) А ⋂ (В ∪ С) = (А ⋂ В) ∪ (А ⋂ С) - дистрибутивное
3) А ∪ ∅ = А
4) А ⋂ ∅ = ∅
5) Е \ (А ⋂ В) = (Е \ А) ∪ (Е\В)
6) Е \ (А ∪ В) = (Е \ А) ⋂ (Е \В)
Доказательство:
∀ а ∈ Е \(А ∪ В) ⇒ а ∈ Е и а ∉ А ∪ В ⇒ а ∈ Е и а ∉ А и а ∉ В ⇒ а ∈ Е\А и а ∈ Е \В ⇒
⇒ а ∈ (Е\А)⋂ (Е\В)
∀ а ∈ (Е\А) ⋂ (Е\В) ⇒ а ∈ Е\А и а ∈ Е\В ⇒ а ∈ Е, а ∉ А и а ∉ В ⇒ а ∈ Е и а ∉ (А ∪ В) ⇒
⇒ а ∈ Е\(А ∪ В)
7) А ⊂ А
8) А ⊂ В, В ⊂ С ⇒ А ⊂ С
Декартово произведение множеств
С = А*В = {(х,у): х ∈ А, у ∈ В} – элементы множества С есть пары элементов множеств А и В.
Отображение и функция
F – отображение A*B ⇔ F ⊂ А*В ⇔ F = {(х,у):х ∈ А ∃! у ∈ В}
F – функция, определённая на (а,b).
y = F(x) – образ точки х
Х – прообраз точки у.
F(A) – образ множества А ⇔ F(A) = {y ∈ В: ∃х ∈ В, у = F(x)}
Виды отображений
1) Сюръективное: F(A) = B (А = (a,b), B = (c,d)) – для каждого образа из множества B существует прообраз из множества А (не обязательно единственный)
2) Инъективное: ∀ x, x’ ∈ А: х ≠ x’ F(x) ≠ F(x’) – каждому прообразу из множества А соответствует единственный образ из множества В, но не обязательно каждому образу из множества В соответствует какой-либо прообраз из множества А.
3) Биективное: сюръективное и инъективное.
Обратное отображение
F-1 = {(y,x): у ∈ В, ∃! Х ∈ А} F – биективное.
х = F-1(y)
F(F-1(y)) = y, F-1(F(x)) = x
2) Вещественные числа и их свойства. Аксиома Архимеда.
Модуль числа, неравенства | x + y| ≤ |x| + |y|, ||x| - |y|| ≤ |x - y|. Целая и дробная часть числа. Промежутки (интервал, полуинтервал, отрезок)
Вещественные числа - расширение множества рациональных чисел, возникшее из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений. Обозначается это множество R
Свойства вещественных чисел:
1) Правило упорядочения. ∀ a,b ∈ R связаны одним и только одним из знаков >,< или =.
2) ∀ a,b ∈ R ∃ с ∈ R, называемое их суммой и обозначаемое с=a +b. Операция нахождения суммы называется сложением.
3) ∀ a,b ∈ R ∃ с ∈ R, называемое их произведением и обозначаемое с=a * b.. Операция нахождения произведения называется умножением
4) ∀ a,b,c ∈ R: a>b, b>c ⇒ a>c (свойство транзитивности знака >); ∀ a,b,c ∈ R: a=b, b=c ⇒ a=c (свойство транзитивности знака =)
5) a+b = b+a (коммутативность)
6) (a+b)+c = a + (b+c) (ассоциативность)
7) ∃ 0: a+0 = a, ∀ a ∈ R (особая роль нуля)
8) ∀ а ∈ R ∃ a’ ∈ R: a+a’=0; a’ – противоположное.
9) a*b = b*a (коммутативность)
10)(a*b)*c = a*(b*c) (ассоциативность)
11)∃ 1: а*1 = а, ∀ а ∈ R (особая роль единицы)
12)∀ a ≠ 0 ∃ a’: a*a’ = 1; a’ – обратное
13) (a+b)*c = a*c + b*c (дистрибутивность)
14) a>b ⇒ a+c>b+с
15)a>b и c>0 ⇒ a*c>b*c
16) Каково бы ни было число а, можно число 1 повторить слагаемым столь раз, что сумма превзойдет а.
Аксиома Архимеда:
∀ а ∈ R, а > 0, ∃ n ∈ N: a*n ≥ 1
1) a ≥ 1 ⇒ n = 1.
2) 0<a<1
a = a0,a1a2a3…
a0 = 0, a1=a2=…=ak-1=0, ak ≠ 0
а = 0,00…0ak (k-1 нулей после запятой)
a*10k = ak,ak+1… n = 10k
Модуль числа:
х ∈ R, |x| = x, x>0
|x| = 0, x=0
|x| = -x, x<0
Неравенства |x + y| ≤ |x| + |y|, ||x| - |y|| ≤ |x-y|
· (|x+y|)2 = x2 + 2*x*y + y2 ≤ |x|2 + 2*|x|*|y| + |y|2 = (|x| + |y|)2 ⇒ |x+y| ≤ |x| + |y|
· |x| = |(x-y)+y| ≤ |x-y| + |y|
|x| ≤ |x-y| + |y|
|x| - |y| ≤ |x-y| (1)
|y| = |y-x+x| = |(y-x)+x| ≤ |x-y| +|x|
|y| ≤ |x-y| + |x|
|y|-|x|≤|x-y| (2)
(1) и (2) ⇒ |x-y| ≥ ||x|-|y||
Целая и дробная часть числа
х = х0,х1х2…
[х] – целая часть числа
[х] = х0, х>0
[х] = х0-1, х<0
{x} – дробная часть числа
{х} = 0,х1х2, х>0
{х} = 1-0,х1х2, х<0
Промежутки. Интервал, полуинтервал, отрезок.
{х ∈ R:а≤х≤b} = [a,b] – отрезок
{х ∈ R:а<х<b} = (a,b) – интервал
{х ∈ R:а≤х<b} = [a,b) – полуинтервал
3) Ограниченные и неограниченные множества. Верхняя и нижняя грани множества. Свойство полноты множества вещественных чисел. Существование точной верхней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества.
· D ⊂ R, D – ограниченное сверху ⇔ ∃ b ∈ R: ∀ х ∈ D x ≤b; b – верхняя грань множества
· D ⊂ R, D – ограниченное снизу ⇔ ∃ b ∈ R: ∀ х ∈ D x ≥ b; b – нижняя грань множества
· D ≠ ∅ - ограниченное ⇔ ограниченное сверху и снизу ⇔ ∃ b1,b2 ∈ R: ∀ х ∈ D: b1 ≤ x ≤ b2
· D ⊂ R, D – неограниченное сверху ⇔ ∀ b ∈ R: ∃ х ∈ D x ≥ b
· D ⊂ R, D – неограниченное снизу ⇔ ∀ b ∈ R: ∃х ∈ D x ≤b
· D ⊂ R, D – неограниченное ⇔ ∃ М > 0: ∃ х ∈ D: |x| >M
Свойство полноты множества вещественных чисел.
Пусть A/B – сечение множества D точкой b:
1. А ∪ В = D
2. А ⋂ В = ∅
3. ∀ х ∈ А, ∀ у ∈ В: x<y.
4. A = {х ∈ R: х ≤ b (x<b)}, B = {у ∈ R:у > b (y≥b)}
5. b = sup A = inf B
Полнота множества R заключается в том, что точка b, выполняющая сечение числовой оси и b = sup A = inf B, принадлежит либо множеству А, либо множеству В.
Существование точной верхней (нижней) грани у ограниченного сверху(снизу)множества.
ТЕОРЕМА: у всякого ограниченного сверху множества существует точная верхняя грань, а у ограниченного снизу – точная нижняя грань.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
D – ограниченное сверху ⇔ ∃ b ∀ х ∈ D: x≤b. Рассмотрим несколько случаев:
1. а = max x, х ∈ D.
1. ∀ х ∈ D х ≤ a ⇒ а ∈ B (множество верхних граней)
2. ∀ b ∈ B a ≤ b
Предположим противное, ∃ b ∈ B: b<a ∈ D ⇒ b ∉ B – пришли к противоречию.
2. У множества D нет максимального элемента
2’) {0} ∈ D
Введем числа х и х’: х = х0,х1х2…, х’ – подобное. х >0, x’>0.
x>x’ ⇒ х0 > x0’ либо х0 = x0’ и х1 > x1’ либо … либо х0 = x0’ и х1 = x1’ и … и хk > xk’
Возьмем множество D0 = {х ∈ D: х ≥0} ⊂ D
х ∈ D, х = х0,х1…
D – ограниченное ⇒ ∀ х ∈ D: х ≤ b и ∀ х ∈ D0 : х ≤ b.
Пусть s0 = max x0, x ∈ D0.
Введем множество D1 ∈ {x ∈ D0: х = s0,x1x2…}⊂ D0 ⊂ D
Пусть s1 = max x1, x ∈ D1 и так до бесконечности.
В итоге получим число s = s0,s1s2…
s=sup D?
1) ∀ х ∈ D: х ≤ s?
Предположим противное, ∃ х ∈ D: х > s ⇒ х0 > s0, либо х0 =s0 и х1 > s1 и так далее до sk. Приходим к противоречию, так как sk мы выбирали как максимальное.
2) ∀ b ∈ B: b ≥ s?
Предположим противное, ∃ b < s
b0 <s0
b0 =s0, b1 < s1
…
b0 =s0, b1 = s1, …, bk < sk
∀ х ∈ Dk+1 ⊂ D s = s0,s1…skxk+1… ⇒ x>b пришли к противоречию.
2’’) {0} ∉ D, а ∈ D.
D' = {x’: x’ = x-a, x ∈ D} ⇒ {0} ∈ D’, далее доказательство аналогично.
3) ∃ b ∀ х ∈ D х ≥ b ⇒ ∀ х ∈ D –х ≤ -b
D’ = {x’:x’=-x; x ∈ D}, то D’ – ограниченное сверху, доказательство аналогично пунктам 1) и 2).
Теорема о необходимом и достаточном условии существования supD:
β=supD, D-огр. сверху, н. и д.:
1) 
2) 
: 
Необх:
1) 
=supD 
:
2) предположим противное: 
: 
- противоречие, что -минимальный supD
Дост:
: 1)
2) : =supD?
1 . Предположим что не минимум
2 
= 
противоречие
Теорема о необходимом и достаточном условии существования infD:
D-огр. снизу, 
=infD, н. и д.:
1) 
2) : 
Необх:
1) =infD 
2) предп. противное 
(
) 
- противоречие
Дост:
: 1)
2) :
1 (нижняя грань). предположим, что не максимальный infD
: 
2 
противоречие
Свойство точной верхней (нижней) грани. Леммы о существовании рационального и иррационального числа между двумя вещественными числами.
ТЕОРЕМА: Для того, чтобы β являлось точной верхней гранью D, необходимо и достаточно:
1) ∀ х ∈ D: х ≤ β
2) ∀ ε > 0 ∃ х ∈ D: х > β – ε
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Необходимость:
β = sup D ⇒ β ∈ В ∀ х ∈ D х ≤ β – 1 – доказано.
Предположим противное, ∃ ε > 0, ∀ х ∈ D, х ≤ β – ε ∈ В. Но β – ε < β = sup D, пришли к противоречию.
Необходимость доказана.
Достаточность:
1) ∀ х ∈ D: х ≤ β ⇒ β ∈ В
Предположим противное, ∃ b ∈ В: b < β
Пусть ε = β – b
Тогда, из пункта 2) ⇒ ∃ х ∈ D: х > β – ε = β – β + b = b ⇒ х > b ⇒ b ∉ B – пришли к противоречию. Достаточность доказана.
Теорема о необходимом и достаточном условии существования infD:
D-огр. снизу, =infD, н. и д.:
1)
2) :
Необх:
1) =infD
2) предп. противное () - противоречие
Дост:
: 1)
2) :
1 (нижняя грань). предположим, что не максимальный infD
:
2 противоречие
ЛЕММА: Для любых двух вещественных чисел найдется рациональное число, лежащее между ними на числовой оси.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
∀ х,у ∈ R: х < у ∃ r ∈ Q: х < r < у
а = у-х > 0
∃ n ∈ N: а * n ≥ 1 (аксиома Архимеда)
(у-х)*n ≥ 1
у*n –х*n ≥ 1 | *2
2*у*n –2*х*n ≥ 2
∃ m ∈ Z: 2*х*n < m < 2*у*n
х < m / 2 * n < у
r = m / 2 * n ∈ Q – такое число нашлось.
ЛЕММА: Для любых двух вещественных чисел найдется иррациональное число, лежащее между ними на числовой оси.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
∀ х,у ∈ R: х < у ∃ q ∈ R \ Q: х < q < у
х < у | *√ 2
√ 2 * х < √ 2 у
∃ r ∈ R: √ 2 * х < r < √ 2 * у
х < r / √ 2 < у
q = r / √ 2 * х ∈ R \ Q - такое число нашлось.
5) Метод математической индукции. Определение n!, Сnk . Доказательство равенства Cnk + Сnk+1 = Cn+1k+1 . Бином Ньютона. Неравенство Бернулли.
Для того, чтобы доказать, что утверждение А верно ∀ n ≥ m (n, m ∈ N) необходимо доказать, что:
1. А верно для n = m – База индукции.
2. Предположим, что А верно при n = k.
3. А верно для n = k+1.
Предположим противно, что при выполнении условий 1,2,3 А верно не для всех n ≥ m. Тогда, выберем такое n0 = min n, что Аn0 – не верно ⇒ Аm, Аm+1,…, An0-1 – верно. Тогда:
1) n = m противоречит пункту 1.
2) n0 > m. Но, так как An0-1 – верно, исходя из пункта 3, верно и Аn0 – верно. Пришли к противоречию.
n! – факториал.
n! = 1*2*3*…*n
Если n – четное, то n!! = 2*4*…*(n-2)*n.
Если n – нечетное, то n!! = 1*3*…*(n-2)*n.
Сnk - число сочетаний из n по k.
Сnk = n! /((n-k)! * k!)
Cnk + Сnk+1 = Cn+1k+1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Разложим правую часть, приведем к общему знаменателю, приведем подобные в числителе – что и требовалось доказать.
0! = 1 – это важно.
Бином Ньютона:
(а+b)n = i=0∑n Cni an-ibi
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Доказательство по методу математической индукции.
1 и 2 пункт – все ясно.
3 пункт
Извлечем из 1 суммы слагаемое при k=0
Извлечем из второй суммы слагаемое при k=n
Теперь сложим преобразованные суммы:
Доказано
Неравенство Бернулли:
∀ а > -1, ∀ n ∈ N
(а+1)n ≥ 1 + n*а.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
1. n = 1: а+1 ≥ 1 + а – верно
2. n = k: (а+1)k ≥ 1 + k*а
3. n = k+1: (а+1)k+1 ≥ 1 + (k+1)*а
(а+1)k+1 = (а+1)* (а+1)k = (а+1)*(1 + k*а) = 1 + а * (k+1) + k*a2 (так как k*a2 > 0) ≥ 1 + а * (k+1) - доказано.
Поиск по сайту: