Основные типы преобразований и этапы их изучения

Изучение различных преобразований выражений и формул за­нимает значительную часть учебного времени в курсе школьной математики. Простейшие преобразования, опирающиеся на свойст­ва арифметических операций, производятся уже в начальной шко­ле и в 5-6 классах. Но основную нагрузку по формированию умений и навыков выполнения преобразований несет на себе курс школьной алгебры. Это связано как с резким увеличением числа и разнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнени­ем деятельности по их обоснованию и выяснению условий приме­нимости, с выделением и изучением обобщенных понятий тождест­ва, тождественного преобразования, равносильного преобразова­ния, логического следования.

Можно выделить следующие этапы освоения применений пре­образований буквенно-числовых выражений и формул.

Начала алгебры. На этом этапе используется нерасчлененная система преобразований; она представлена правилами выполнения действий над одной или обеими частями формулы. Приведем ти­пичный пример..

Пример. Решить уравнения:

Общая идея решения состоит в упрощении данных формул с помощью нескольких правил. В первом задании упрощение дости­гается при помощи применения тождества (распределительного закона): Основанное на этом тождестве тож­дественное преобразование переводит данное уравнение в равно­сильное ему уравнение 2 х = 2. Второе уравнение требует для своего решения не только тождественного, но и равносильного преобра­зования; в таком качестве здесь используется правило переноса членов уравнения из одной части уравнения в другую с изменением знака. Мы видим, что уже в решении такого простого задания используются оба типа преобразований – и тождественное и равно­сильное. Это положение сохраняется, конечно, и для более громозд­ких заданий, таких, как третье.

Цель этого этапа – достичь беглости в выполнении заданий на решение простейших уравнений, упрощение формул, задающих функции, в рациональном проведении вычислений с опорой на свойства действии.

Формирование навыков применения конкретных видов преобра­зований. Система приемов и правил проведения преобразований, используемая на этапе начал алгебры, имеет очень широкую область приложений: она используется в изучении всего курса математики. Однако именно в силу своей малой специфичности эта система нуждается в дополнительных преобразованиях, учитывающих осо­бенности структуры преобразуемых выражений и свойства вновь вводимых операций и функций. Освоение соответствующих видов преобразований начинается с введения формул сокращенного умно­жения. Затем рассматриваются преобразования, связанные с опера­цией возведения в степень, с различными классами элементарных функций – показательных, степенных, логарифмических, тригоно­метрических. Каждый из этих типов преобразований проходит этап изучения, на котором внимание сосредоточивается на усвое­нии их характерных особенностей.

По мере накопления материала появляется возможность выде­лить и общие черты всех рассматриваемых преобразований и на этой основе ввести понятия тождественного и равносильного пре­образований.

Следует обратить внимание на то, что понятие тождествен­ного преобразования дается в школьном курсе алгебры не в пол­ной общности, а только в при­менении к выражениям. Преобразования разделяются на два клас­са: тождественные преобразования – это преобразования выраже­ний, а равносильные – преобразования формул. В случае, когда возникает потребность в упрощении одной части формулы, в этой формуле выделяется выражение, которое и служит аргументом применяемого тождественного преобразования. Соответствующий предикат при этом считается неизменным. Например, уравнения считаются не просто равносильными, а одинако­выми.

Организация целостной системы преобразований (синтез). Основная цель этого этапа, как было отмечено, состоит в фор­мировании гибкого и мощного аппарата, пригодного для использо­вания в решении разнообразных учебных заданий.

Развертывание второго этапа изучения преобразований про­исходит на протяжении всего курса алгебры неполной средней школы. Переход к третьему этапу осуществляется при итоговом повторении курса в ходе осмысления уже известного материала, усвоенного по частям, по отдельным типам преобразований.

Поиск по сайту: