Тема «Преобразования математических выражений»

Maple обладает широкими возможностями для проведения аналитических преобразований математических формул.

Выделение частей выражений.

Математическая формула, над которой будут производиться преобразования, записывается в следующей форме:

>eq:=exp1=exp2;

где eq – произвольное имя выражения, exp1 –условное обозначение левой части формулы, exp2 – условное

обозначение правой части формулы.

Выделение правой части выражения осуществляется командой rhs(eq), выделение левой части выражения – командой lhs(eq).

Пример:

> eq:=a^2-b^2=c;

eq:= a 2 − b 2 = c

> lhs(eq);

a 2 − b 2

> rhs(eq);

c

Если задана рациональная дробь вида a/b, то можно выделить ее числитель и знаменатель с помощью команд numer и denom, соответственно.

Пример:

> f:=(a^2+b)/(2*a-b);

> numer(f);

> denom(f);

2 a − b

Тождественные преобразования выражений.

Раскрытие скобок выражения eq осуществляется командой expand(eq).

Пример:

> eq:=(x+1)*(x-1)*(x^2-x+1)*(x^2+x+1);

eq:= (x +1)(x −1)(x 2 − x +1)(x 2 + x + 1)

> expand(eq);

Разложение многочлена на множители осуществляется командой factor(eq).

Пример:

> p:=x^5-x^4-7*x^3+x^2+6*x;

> factor(p);

x (x −1)(x − 3)(x + 2)(x + 1)

Команда expand может иметь дополнительный параметр, позволяющий при раскрытии скобок оставлять определенное выражение без изменений. Например, пусть требуется каждое слагаемое выражения ln x + ex − y 2 умножить на выражение (x+a). Тогда в командной строке следует написать:

> expand((x+a)*(ln(x)+exp(x)-y^2), (x+a));

(x + a)ln x + (x + a) ex − (x + a) y 2

Дробь можно привести к нормальному виду с помощью команды normal(eq).

Пример:

> f:=(a^4-b^4)/((a^2+b^2)*a*b);

> normal(f);

Упрощение выражений осуществляется командой simplify(eq).

Пример:

> eq:=(cos(x)-sin(x))*(cos(x)+sin(x)):

> simplify(eq);

Приведение подобных членов в выражении осуществляется командой collect(exp,var), где exp – выражение, var – имя переменной, относительно которой следует собирать подобные. В команде simplify в качестве параметров можно указать, какие выражения преобразовывать. Например, при указании simplify(eq,trig) будет производиться упрощение при использовании большого числа тригонометрических соотношений. Стандартные параметры имеют названия:

power – для степенных преобразований;

radical или sqrt – для преобразования корней;

exp – преобразование экспонент;

ln – преобразование логарифмов. Использование параметров намного увеличивает эффективность команды simplify.

Объединить показатели степенных функций или понизить степень тригонометрических функций можно при помощи команды combine(eq,param), где eq – выражение, param – параметры, указывающие, какой тип функций преобразовать, например, trig –для тригонометрических, power – для степенных.

Пример:

> combine(4*sin(x)^3, trig);

− sin(3 x) + 3sin(x)

Для упрощения выражений, содержащих не только квадратные корни, но и корни других степеней, лучше использовать команду radnormal(eq).

Пример:

> sqrt(3+sqrt(3)+(10+6*sqrt(3))^(1/3))=

radnormal(sqrt(3+sqrt(3)+(10+6*sqrt(3))^(1/3)));

С помощью команды convert(exp, param), где exp – выражение, которое будет преобразовано в указанный тип param. В частности, можно преобразовать выражение, содержащее sin x и cos x, в выражение, содержащее только tg x, если указать в качестве параметра tan, или, наоборот, tg x, ctg x можно перевести в sin x и сos x, если в параметрах указать sincos.

Вообще, команда convert имеет более широкое назначение. Она осуществляет преобразование выражения одного типа в другой. Например: convert(list, vector) – преобразование некоторого списка list в вектор с теми же элементами; convert(expr, string) – преобразование математического выражения в его текстовую запись. Для вызова подробной информации о назначении параметров команды convert следует обратиться к справочной системе, набрав convert[termin].

Если вы забыли параметры какой-либо команды, то можно воспользоваться справочной системой Maple. Для вызова справки по конкретной команде, следует выделить набранное имя этой команды и

нажать клавишу F1. Если команда набрана правильно, то появится описание этой команды (в большинстве версий Maple помощь на английском языке).

Пример:

Упростить выражение .

Наберите:

> eq:=(1+sin(2*x)+cos(2*x))/(1+sin(2*x)-cos(2*x)):

> convert(eq, tan):

> eq=normal(%);

.

Индивидуальные задания:

Разложить на множители выражения:

№	Задание	№	Задание

Упростить выражение:

Поиск по сайту: