Область значений и ядро линейного оператора

Пусть j: L_n ® L_m линейный оператор.

Определение 33. Областью значений оператора j называется множество j (L_n) образов всех элементов из L_n.

Теорема 32. Область значений линейного оператора j: L_n ® L_m есть линейное подпространство в L_m.

Доказательство. По определению линейного оператора j (L_n) Ì L_m. Пусть в и с – любые два вектора из j (L_n). Тогда существуют такие векторы а₁ и а₂ из L_n, что j (а₁) = в, j (а₂) = с. Тогда, по определению 31¹, j (a а₁ + b а₂) = aj (а₁) + bj (а₂) = a в + b с. Так как a а₁ + b а₂ Î L_n, то j (a а₁ + b а₂) Î j (L_n), т.е. a в + b с Î j (L_n). Отсюда следует, что j (L_n) – линейное подпространство в L_m.

Определение 34. Ядром линейного оператора j: L_n ® L_m называется множество всех векторов из L_n, отображающихся в нулевой вектор пространства L_m.

Теорема 33. Ядро линейного оператора j: L_n ® L_m является линейным подпространством в пространстве L_n. (Обозначение ядра Ker(j))

Доказательство. По определению ядра Ker(j) Ì L_n. Если а₁ и а₂ Î Ker(j), то j (а₁) = 0, j (а₂) = 0. Но тогда j (a а₁ + b а₂) = aj (а₁) + bj (а₂) = a× 0 + b× 0 = 0 Þ a а₁ + b а₂ Î Ker(j). Итак, Ker(j) – линейное подпространство в пространстве L_n.

Примеры. 1. Даны два линейных пространства L₃ и L₅. Пусть е = (е ₁, е₂, е₃) и f = (f₁, f₂, f₃, f₄, f₅) – реперы в L₃ и L₅ соответственно. Пусть а₁ = (1, 4, –1, 3, 0), а₂ = (3, 0, 1, –3, 7), а₃ = (1, 1, 2, 2, 0) – три вектора из L₅. Пусть линейный оператор j: L ₃ ® L₅ задан по правилу j (х₁ е₁ + х₂ е₂ + х₃ е₃) = х₁ а₁ + х₂ а₂ + х₃ а₃. Найти j (L₃) и Ker(j).

Решение. Так как х₁, х₂, х₃ – любые элементы поля коэффициентов Р, то х₁ а₁ + х₂ а₂ + х₃ а₃ – любой вектор из линейной оболочки < а₁, а₂, а₃ >. Итак, j (L₃) = < а₁, а₂, а₃ >.

j (х₁ е₁ + х₂ е₂ + х₃ е₃) = 0 Û х₁ а₁ + х₂ а₂ + х₃ а₃ = 0 Û х₁ (1, 4, –1, 3, 0) + х₂ (3, 0, 1, –3, 7)+ + х₃ (1, 1, 2, 2, 0) = (х₁ + 3 х₂ + х₃, 4 х₁ + х₃, – х₁ + х₂ + 2 х₃, 3 х₁ –3 х₂ + 2 х₃, 7 х₂) = 0 Û

Для нахождения х1, х2. х3 получили систему пяти уравнений с тремя неизвестными. Решая её, получим х1 = х2 = х3 = 0. Следовательно, ядро данного линейного оператора состоит только из нулевого вектора.

2. Даны два линейных пространства L₃ и L₅. Пусть е = (е ₁, е₂, е₃) и f = (f₁, f₂, f₃, f₄, f₅) – реперы в L₃ и L₅ соответственно. Пусть линейный оператор j: L₅ ® L₃ задан правилом j (х₁ f₁ + х₂ f₂ + х₃ f₃ + х₄ f₄ + х₅ f₅) = х₁ е₁ + х₂ е₂ + х₃ е₃. Найти j (L₃) и Ker(j).

Решение. Очевидно, j (L₅) = < е ₁, е₂, е₃ > = L₃. Найдём ядро.

j (х₁ f₁ + х₂ f₂ + х₃ f₃ + х₄ f₄ + х₅ f₅) = 0 Û х₁ е₁ + х₂ е₂ + х₃ е₃ Û х₁ = х₂ = х₃ = 0. Итак, ядро состоит из векторов вида а = (0, 0, 0, х₄, х₅), где х₄, х₅ – любые элементы поля Р.

Поиск по сайту: