АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Матрица линейного оператора. Связь координат вектора и его образа

Читайте также:
  1. B. обучение образам правого полушария
  2. II. Ионная связь (металл-неметалл)
  3. II. Операции над векторами, заданными их разложениями по ортам (заданными координатами)
  4. III. Векторное произведение векторов, заданных координатами
  5. III. Основы медицинских знаний и здорового образа жизни.
  6. III. Умножение вектора на число
  7. IV. Водородная связь
  8. IV. Двойная связь и конверсия
  9. MathCad: построение, редактирование и форматирование графиков в декартовой системе координат.
  10. Nikon D7100 - матрица APS-C в идеальном оформлении
  11. SMFI2HO (ББ. Связь статей сметы расходов с хозоперациями)
  12. SWOT- матрица

Пусть Ln и Lm – линейные пространства над полем Р и j: Ln ® Lm линейный оператор. Зафиксируем в Ln и Lm базисы е = (е 1, е2, …, еn) и f = (f1, f2, …, fm) соответственно. Если j (е) = (j (е1), j (е2), …, j (еn)), то все векторы j (ек) Î Lm. Выразим их через базис f.

(31) Матрица А = называется матрицей оператора j в паре базисов е и f.

Формулы (31) можно записать в матричном виде: j (е) = f ×А (32)

Пусть а – произвольный вектор из Ln и j (а) – его образ в Lm. Пусть х – столбец координат этого вектора в базисе е и х1 – столбец координат вектора j (а) в базисе f. Тогда а = е × х, j (а) = j (е) × х, j (а) = f×х1. Следовательно, j (е) × х = f×х1. Используя (32), получим (f ×Ах = f×х1, или f ×(А × х) = f×х1. Отсюда х1 = А × х (33).

Следствие. Если в линейных пространствах Ln и Lm зафиксированы базисы, то каждому линейному оператору, действующему из Ln в Lm соответствует единственная матрица размерности m´n с элементами из поля Р.

Теорема 34. Если в линейных пространствах Ln и Lm зафиксированы базисы, то каждая матрица размерности m´n с элементами из поля Р является матрицей одного и только одного линейного оператора, действующего из Ln в Lm.

Доказательство. Пусть дана матрица А = с элементами из поля Р и пусть Ln и Lm – линейные пространства над полем Р. Зафиксируем в Ln и Lm базисы е = (е 1, е2, …, еn) и f = (f1, f2, …, fm) соответственно. В пространстве Lm зададим векторы а1 = (a11, a21, …, am1), а2 = (a12, a22, …, am2), …, аn (a1n, a2n,…, amn). Если искомый линейный оператор существует, то должно быть j (ек) = ак для любого к = 1, 2, …, n. По теореме 31 такой оператор существует и только один.

Следствие. Между множеством линейных операторов, действующих из Ln в Lm, и множеством матриц размерности m´n с элементами из поля Р устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Если в Ln и Lm зафиксированы базисы е = (е 1, е2, …, еn) и f = (f1, f2, …, fm), то при сложении линейных операторов складываются соответствующие им матрицы. Если линейный оператор умножить на элемент поля Р, то на этот элемент умножится и соответствующая матрица.

Следствие. Линейное пространство линейных операторов, действующих из Ln в Lm, изоморфно линейному пространству матриц размерности m´n с элементами из поля Р.

Следствие. Размерность линейного пространства линейных операторов, действующих из Ln в Lm, равна m×n.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)