Операции над матрицами

Рассмотрим операции над матрицами.

1. Матрица А^т, получающаяся из матрицы А = (а_ij) _{т ´ п} заменой ее строк столбцами, называется транспонированной к А.

А = Þ А^т = .

2. Матрицы А = (а_ij) _{т ´ п} и В = (b_ij) _{т ´ п} одинаковой размерности равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы (т.е. элементы, стоящие на одинаковых местах):

А = В Û а_ij = b_ij, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m.

3. Суммой матриц А = (а_ij) _{т ´ п} и В = (b_ij) _{т ´ п} одинаковой размерности называется матрица С = (с_ij) _{т ´ п}, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В: с_ij = а_ij + b_ij.

4. Произведением матрицы А = (а_ij) _{т ´ п} на число l называется матрица lА, элементы которой равны произведениям элементов матрицы А на число l:

lА = (l а_ij) _{т ´ п}

Операции сложения и умножения на число обладают свойствами:

1) А + В = В + А,

2) А + (В + С) = (А + В) + С,

3) l(А + В) = lА + lВ,

4) (l + m)А = lА + mА,

5) l(mА) = (l.m)А.

Доказательство этих свойств легко провести, пользуясь непосредственно определением соответствующих операций.

5. Разность матриц А и В определяется равенством А – В = А + (–1)В.

6. Произведение матрицы А = (а_ij) на матрицу В = (b_ij) есть матрица С, элементы которой находят по правилу

с_ij = a_{i 1} b _{1 j} + a_{i 2} b _{2 j} +... + a_inb_nj,

i = 1,2,..., n, j = 1,2,..., k, т.е. чтобы найти элемент матрицы С, стоящий в i – ой строке и j -ом столбце, нужно взять i - ю строку матрицы А и j -й столбец матрицы В, попарно перемножить их соответствующие элементы и полученные произведения сложить.

Произведение С = АВ матриц А и В определено тогда и только тогда, когда размерности этих матриц удовлетворяют условию

А _{т ´ п}. В _{п ´ k} = С _{т ´ k}.

Свойства умножения матриц:

1) (АВ)С = А(ВС),

2) (А + В)С = АС + ВС, А(В + С) = АВ + АС,

3) l(АВ) = (lА)В = А(lВ),

4) (АВ)^т = В^тА^т,

5) АЕ =А, ЕА = А,

6) (АВ)* = B*A*

Доказать эти свойства самостоятельно.

Обратите внимание, умножение матриц не обладает свойством коммутативности: АВ ¹ ВА. Более того, если одно из этих произведений существует, то второе – совсем не обязательно. Например, если А_2´3 и В_3´3, то АВ можно найти, а ВА не определено.

Если же выполняется условие АВ = ВА, то матрицы А и В называются перестановочными.

Естественно определить натуральную степень квадратной матрицы по правилу: А ^п = . Тогда можно рассматривать и матричный многочлен вида Р(А) = а_п А ^п + а_{п –1}А ^{п –1} + … + а ₁А + а ₀Е.

Квадратную матрицу А, удовлетворяющую условию А = А^т, называют симметрической. Для такой матрицы а_ij = a_ji, i, j = 1,2,..., n, i ¹ j.

Квадратную матрицу А, удовлетворяющую условию А = –А^т. называют кососимметрической. Для такой матрицы а_ij = – a_ji при i ¹ j и а_ii = 0, i, j = 1,2,..., n.

Матрица А, удовлетворяющая условию А = A*, называется эрмитовой. Если А* = –A, то матрица А – косоэрмитова матрица.

Матрица А^–1 называется обратной для квадратной матрицы А, если

А^–1А = АА^–1 = Е.

Матрица А, удовлетворяющая условию А^т = А^–1, называется ортогональной матрицей.

Поиск по сайту: