Метод сканирования

Известно, что необходимым условием существования экстремума дифференцируемой функции f(x) является выполнение равенства f¢(х) = 0. Точка х, удовлетворяющая данному условию, называется точкой стационарности. Достаточным условием существования минимума в точке стационарности является выполнение неравенства f¢¢(х)>0, а максимума - f¢¢(х)<0.

Задача одномерной оптимизации имеет единственное решение в том случае, если функция f(x) на отрезке [a;b] имеет только один экстремум. Тогда говорят, что функция унимодальная на отрезке [a;b].

Достаточными условиями унимодальности функции на отрезке [a;b] являются:

1. Для дифференцируемой функции f(x) ее производная f¢(х) -неубывающая.

2. Для дважды дифференцируемой функции f(x) выполняется неравенство f¢¢(х)³0.

Все численные методы одномерной оптимизации применяются только для унимодальных на определенном интервале функций.

Пример 1.6.1-1. Провести исследование функции f(x) = x³ – x + e^-x на предмет существования экстремумов.

Вначале проведем графическое исследование. Построим график функции f(x) (рис. 1.6.1-2). Из графика видно, что f(x) имеет две точки минимума: х₁ и х₂, причем точка х₁ – точка глобального минимума. Исходя из графика, можно принять следующие отрезки неопределенности: для точки х₁ - [-4;-3], а для точки х₂ - [0;1].

Рис. 1.6.1-2

Проверим достаточное условие существования минимума на выбранных отрезках:

f¢(x) = 3x² – 1 – e^-x; f¢¢ (x) = 6x + e^-x,

f¢(0) < 0, f¢(1) >0, f¢¢ (x) > 0 для хÎ[0;1],

f¢(-4) < 0, f¢(-3) >0, f¢¢ (x) > 0 для хÎ[-4;-3].

Условия существования минимума выполнены, поскольку f¢¢(x) > 0 для всех хÎ[0;1] и хÎ[-4;-3]. Следовательно, функция f(x) является унимодальной на выбранных отрезках.

Задачу одномерной оптимизации можно решить и аналитически. Для Этого следует получить первую производную от целевой функции (в нашем случае f¢(x) = 3x² – 1 – e^-x), приравнять ее нулю и решить полученное уравнение. Но тогда возникает задача решения нелинейного уравнения, а это не всегда удается сделать. Кроме того целевая функция может быть задана таблично или не имеет непрерывной производной. Именно в таких случаях применение численных методов оптимизации являются единственно возможным.

Таким образом, на практике численные методы одномерной оптимизации применяют в следующих случаях:

· значения функции f(x) определены в ходе эксперимента;

· целевая функция очень сложна или не имеет непрерывных производных;

· классические методы поиска оптимального значения не применимы.

Суть методов одномерного поиска заключается в том, что на каждой итерации интервал неопределенности уменьшается и стягивается к точке минимума. Уменьшение отрезка происходит до тех пор, пока на некоторой n- й итерации отрезок неопределенности [b_n;a_n] не станет соизмеримым с заданной погрешностью e, то есть будет выполняться условие |b_n-a_n| <e. Тогда за точку минимума можно принять любую точку, принадлежащую этому отрезку, в частности, его середину.