Сохранение энергии при гармонических колебаниях

Умножим уравнение (1.18) гармонических колебаний на скорость изменения переменной x:

(1.28)

Каждое из слагаемых можно представить как соответствующую производную:

так что уравнение (1.28) записывается в виде:

(1.29)

Отсюда следует, что величина в скобках не зависит от времени, то есть сохраняется в процессе колебаний:

(1.30)

Для выяснения физического смысла сохраняющейся величины применим эти соотношения к пружинному маятнику, когда

Видим, что уравнение (1.30) можно записать в виде суммы кинетической энергии груза и потенциальной энергии сжатой пружины:

(1.31)

Таким образом, найденный закон сохранения есть не что иное, как закон сохранения полной энергии системы.
Аналогично, для электромагнитного контура переменная

и

В этом случае соотношение (1.30) принимает вид:

(1.32)

Первый член – это энергия магнитного поля в катушке, а второй – энергия электрического поля в конденсаторе. Снова мы получили, что сохраняется полная энергия в системе.

Возвращаясь к общей форме (1.30) закона сохранения энергии и подставляя сюда общее решение (1.23), получаем законы изменения во времени кинетической и потенциальной энергий (или их аналогов) и выражение для сохраняющейся полной энергии:

(1.33)

Отсюда следует, что

· кинетическая и потенциальная энергии – периодические функции времени с периодом, равным половине периода колебаний;

· кинетическая и потенциальная энергии колеблются в противофазе: когда кинетическая энергия достигает максимума, значение потенциальной энергии минимально и наоборот;

· в колебательной системе энергия периодически «перекачивается» из одной формы в другую, а полная энергия Е=К+П сохраняется;

· полная энергия колебаний пропорциональна квадрату их амплитуды и квадрату частоты.

Сказанное проиллюстрировано на рис. 1.11, на котором показаны изменения кинетической и потенциальной энергий для пружинного маятника и электромагнитного контура.

Рис. 1.11. Изменения во времени различных форм энергии в колебательной системе: 1 - пружинный маятник; 2 - электромагнитный колебательный контур

Поиск по сайту: