Изоморфизм векторных пространств

Пусть даны векторные пространства V и V ¢ над одним и тем же полем Р.

Определение 1. Изоморфизмом векторных пространств V и V ¢ называется биекция j: V®V¢, такая, что для любых векторов a, b из V и любого числа a из Р

j(a + b) = j(a) + j(b), (1)

j(a a) = aj(a). (2)

Если существует изоморфизм пространств V и V¢, то эти пространства называются изоморфными.

Докажем следующие простые свойства изоморфизмов векторных пространств.

1⁰. Если j - изоморфизм, то и j^-1 – изоморфизм.

Действительно, найдем образы обеих частей равенств (1) и (2) при отображении j^-1, учитывая, что j^-1 j - тождественное преобразование:

a + b = j^-1(j(a) + j(b)), (3)

a a = j^-1(aj(a)). (4)

Если ввести обозначения

j(а) = а ¢, j(b) = b ¢, a = j^-1(a ¢), b = j^-1(b ¢),

то эти равенства примут вид, аналогичный равенствам (1) и (2), а именно:

j^-1(a ¢) + j^-1(b ¢) = j^-1(a ¢ + b ¢), aj^-1(a ¢) = j^-1(a a ¢).

2^0. Образом нулевого вектора 0 Î V при изоморфизме является нуль-вектор 0 ¢Î V ¢.

Справедливость этого свойства сразу следует из (2) при a = 0.

3⁰. Образом противоположного вектора при изоморфизме является противоположный образ этого вектора, то есть j(- а) = -j(а).

Как и в предыдущем случае, справедливость этого утверждения сразу следует из (2) при a = -1.

4⁰. Если j и y - изоморфизмы векторных пространств, то их композиция j y также является изоморфизмом.

Справедливость этого утверждения вытекает из равенств:

j y(a + b) = j(y(a + b)) = j(y(a)+y(b)) = j y(a) + j y(b) и

j y(a а) = j(y(a а)) = j(ay(а)) = aj y(а).

5⁰. При изоморфизме образы линейно независимой системы векторов образуют линейно независимую систему.

Доказательство. Пусть а ₁,…, a _s - линейно независимая система. Предположим противное, что образы векторов этой системы линейно зависимы, то есть существует равная нулю нетривиальная линейная комбинация

l₁j(a ₁) +…+l_sj(a _s) = 0 ¢. (5)

Учитывая свойства изоморфизма 1⁰ и 2⁰, заключаем, что l₁ a ₁+…+l_s a _s = 0, что противоречит линейной независимости системы a ₁,…, a _s.

Теорема. Все n-мерные векторные пространства над одним и тем же полем Р изоморфны между собой.

Доказательство. Пусть даны два n -мерных пространства V и V ¢. Выберем в V базис e ₁,…, e _n, а в V ¢ - базис e ₁¢,…, e _n ¢. Построим отображение j:V®V¢ следующим образом: каждому вектору х из V, разлагающемуся побазису e ₁,…, e _n в виде x = x ₁ e ₁+…+ x_n e _n, поставим в соответствие вектор j (x) = x ₁ e ₁¢+…+ x _n e _n ¢ из V ¢. С учетом теоремы 2 § 3 и определения изоморфизма заключаем, что j - изоморфизм.

Заметим, что в алгебре изоморфные векторные пространства не считаются различными.

Пример. Пространство квадратных матриц порядка 2 с элементами из поля действительных чисел изоморфно арифметическому пространству строк длины 4 над тем же полем:

где

Поиск по сайту: