АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Ядро и образ линейного оператора

Читайте также:
  1. A) государственное ценообразование
  2. Aufgabe 2. Изучите образцы грамматического разбора простых предложений.Выберите из текста и разберите 3 простых предложения.
  3. Aufgabe 3. Образуйте прилагательные от названий времён года.
  4. B. обучение образам правого полушария
  5. CTMPINCS (В.Спецификация образца приходного документа)
  6. C_EOBASE (Б. Образцы запросов хозопераций)
  7. I-III – зародышевые бугры, из которых образуются различные отделы лица.
  8. I. Государственный стандарт общего образования и его назначение
  9. I. Образ науки
  10. II. Конец Золотой Орды и история образования казакского ханства
  11. II. ОБРАЗЕЦ ОФОРМЛЕНИЯ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
  12. II. Элементарные преобразования. Эквивалентные матрицы.

Пусть V – n-мерное векторное пространство над полем Р, j:V®V линейный оператор.

Определение 1. Множество Imj образов всех векторов из V при отображении j называется образом линейного оператора j, то есть

Imj ={jx½xÎV}.

Теорема 1. Образ линейного оператора является векторным подпространством, размерность которого равна рангу этого линейного оператора.

Доказательство. Покажем, что Imj - подпространство. Пусть х¢, у¢ - любые векторы из образа, то есть х¢= jх, у¢= jу, где х, у – некоторые векторы из V, а a - любое число.

Тогда х¢+ у¢ = jх + jу = j(х + у) Î Imj, a = ajx =j(ax) Î Imj. По теореме 1 §6 главы 1 заключаем, что образ оператора – подпространство. Выясним его размерность.

Пусть е1,…,en – некоторый базис в V, а х произвольный вектор пространства V. Тогда этот вектор разложится по базису в виде х =x1e1+…+ xnen, а образ этого вектора имеет вид

jх = x1je1 +…+xnjen. (1)

Равенство (1) говорит нам о том, что система образов базиса является системой образующих для Imj, то есть Imj = <je1,…,jen>, а максимальное число независимых векторов в этой системе будет размерностью образа линейного оператора. Если вспомнить правило составления матрицы линейного оператора в базисе, то очевидно, что независимых векторов в системе будет столько, сколько независимых столбцов в матрице линейного оператора. Следовательно, rangj = dimImj, и теорема доказана.

Определение 2. Ядром линейного оператора j называется множество Kerj таких векторов, образы которых равны нулю, то есть

Kerj = {x½jx = 0}.

Теорема 2. Ядро Kerj линейного оператора j есть подпространство векторного пространства, причем его размерность

dimKerj = n - rangj.

Доказательство. Пусть х и у –произвольные векторы из ядра линейного оператора, то есть jх = 0и jу = 0, а a - любое число. Поскольку j(х + у) = jх +jу =0и j(aх) = ajх = 0, то х + уÎ Kerj и aхÎKerj. Это значит, что Kerj - подпространство. Чтобы выяснить его размерность, поступим следующим образом: выберем базис e1,…,en пространства V следующим образом. Первые k векторов е1,…,ek выберем в ядре оператора j, а затем дополним эту систему до базиса всего пространства. Так как je1 = …= jek = 0 , то в этом случае Imj = <jek+1,…,jen>. Оказывается, все векторы jek+1,…,jen линейно независимы. Действительно, предположив противное, составим нулевую нетривиальную комбинацию этих векторов ak+1jek+1 + … +anjen= 0. Тогда можно построить ненулевой вектор a =ak+1ek+1 +… +anen , заведомо не принадлежащий ядру (иначе он выразился бы через базис ядра).



Но равенство jа =ak+1jek+1+…+anjen = 0показывает, что вектор апринадлежит ядру, а это противоречит построению указанного вектора. Теперь очевидно, что dimImj = rangj = n-k, а так как размерность ядра равна k, то получаем, что

dimKerj = n-rangj.

Размерность ядра линейного оператора называют дефектом линейного оператора и обозначают defj.

Покажем, как описать ядро линейного оператора j, если дан произвольный базис е =(e1,…,en), а оператор задан в этом базисе своей матрицей Аj. Тогда координаты вектора у =jxвычисляются по формуле [y] = Aj[x] (см. глава 2, § 1, равенство (9)). Очевидно, вектор хтогда и только тогда принадлежит ядру, когда у = 0,то есть Аj[x] = 0 ( здесь 0 –матрица-столбец из нулей). Это значит, что координаты векторов ядра найдутся как решения системы линейных уравнений

a11x1 +…+ an1xn = 0,

……………………. (2)

a1nx1 +…+ annxn = 0.

Пример. Найти ядро и образ линейного оператора φ, заданного в некотором базисе пространства R4 матрицей

Решение. Находим ранг матрицы линейного оператора:

rank A = 2.

Значит, размерность образа линейного оператора Im φ равна 2, размерность ядра kerφ равна 4 – 2 = 2.

Базис образа можно, например, составить из векторов φе1, φе2, координаты которых записаны в первых двух столбцах матрицы А.

Im φ = < φе1, φе2 >.

Для отыскания ядра решаем однородную систему уравнений:

x1 + 3x2 + 5x3 + x4 = 0,

2x1 + x2 + 3x3 + x4 = 0.

Общее решение этой системы: (-4α -2β, -7α –β, 5α, 5β). Базис ядра составляют, например, векторы (-4, -7, 1, 0) и (-2, -1, 0, 1).

‡агрузка...

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |


При использовании материала, поставите ссылку на Студалл.Орг (0.007 сек.)