Теорема Лапласа

Теорема. Определитель n–го порядка может быть разложен одновременно по k строкам (или k столбцам), при этом он равен алгебраической сумме произведений всех миноров k–го порядка М_k на их алгебраические дополнения А_k.

Определение минора k–го порядка было рассмотрено в лекции 9.

Минором k–го порядка М_k называется определитель k–го порядка, оставшийся после вычеркивания любых k строк и k столбцов.

При этом невычеркнутые (n–k) строк и (n–k) столбцов составляют определитель (n–k)–го порядка. Назовем его минором (n–k)–го порядка и обозначим М_n–k.

По отношению к М_k М_n–k будет являться дополняющим его минором, назовем М_n–k = М_k'. Таким образом, М_k – основной минор, М_k' – дополняющий его минор.

Замечание. Если бы мы вычеркивали (n–k) строк и (n–k) столбцов, то минор М_k' был бы основной, а невычеркнутый минор k–го порядка М_k был бы дополняющий его минор, то есть

Алгебраическим дополнением минора k–го порядка М_k назовем число А_k, равное определителю дополняющего его минора М_k', взятому со знаком «плюс» или «минус»: «плюс», если сумма номеров вычеркнутых строк и столбцов четная, «минус» – нечетная.

Таким образом,

^{[сумма номеров всех вычеркнутых строк и столбцов]}

Итак, определитель n–го порядка D по теореме Лапласа может быть разложен одновременно по k строкам (или k столбцам).

Замечание. Основная теорема о разложении может рассматриваться как частный случай теоремы Лапласа при k = 1.

Теорему Лапласа выгодно применять для вычисления определителей, содержащих симметрично расположенные нули.

Продемонстрируем применение теоремы Лапласа на примерах.

Примеры.

1.

D4 =
– 1

Разложим этот определитель по 2–м строкам: первой и четвертой (т.е. вычеркнем 1–ю и 4–ю строки).

В вычеркнутых строках содержится С₄²= 6 миноров 2–го порядка М₂, но только один из этих миноров не равен нулю: он содержится в 1–й и 4–й строке и 2–м и 3–м столбце, остальные равны нулю из–за симметрично расположенных нулей. Тогда

2.

Список рекомендуемой литературы

1. Баврин И.И. Высшая математика: учебник для вузов / И.И.Баврин. – 6‑е изд., стереотип. – М.: Академия, 2007.

2. Щипачев В.С. Курс высшей математики: учебник для вузов / В.С.Щипачев. – М.: Оникс 21 век, 2007.

3. Щипачев В.С. Задачник по высшей математике: учебное пособие для вузов / В.С.Щипачев. – 7‑е изд., стереотип. – М.: Высшая школа, 2007.

4. Зуева Т.В. Линейная алгебра: учебное пособие / Т.В.Зуева. – СПб.: УМЦ Комитета по образованию, 2006.

5. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах в 2 частях: учебное пособие для вузов / П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. – М.: Оникс 21 век, 2006.

Поиск по сайту: