АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Сходимость метода скорейшего спуска

Читайте также:
  1. I.2.4. Алгоритм симплекс-метода.
  2. II. 4.1. Алгоритм метода ветвей и границ
  3. II. Проблема источника и метода познания.
  4. SWOT-анализ в качестве универсального метода анализа.
  5. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
  6. Административными методами можно предотвратить необоснованные расходы (хищение, злоупотребление).
  7. Алгоритм метода
  8. Алгоритм метода ветвей и границ
  9. Алгоритм метода ДФП
  10. Алгоритм метода касательных
  11. Алгоритм метода покоординатного спуска решения задачи многомерной минимизации. Геометрическая иллюстрация.
  12. Алгоритм метода покоординатного спуска, не использующий одномерной оптимизации.

Рассм. задачу (1). Пусть в (1) ф-ция f(x) непрерывно дифференцируема, ограничена снизу на мн-ве , ее градиент уд.векторному усл. Липшица с константой L, то есть для всex

Тогда при любом начальном приближении итерационный процесс метода скорейшего спуска является релаксационным,то есть уд.нер-ву

обладает св-вом

Если дополнительно предположить, что мн-во ограничено, то посл-ность {xk} сходится к непустому мн-ву S*стационарных точек ф-ции f(x)

Если кроме того, f(x) выпукла на то посл-ность {xk} явл. минимизирующей и сходится к непустому мн-ву X* решений задачи.

 

40.Постановка простейшей задачи вариационного исчисления. Примеры.

Говорят, что на некотором классе ф-ций задан функционал, если каждой ф-ции x=x(t) из этого класса, поставлено в соотв. число . Если кажд. Ф-цию x(t) рассматривать, как элемент некоторого пр-ва L, н/р пр-во непрерывных ф-кций, непрерывно дифференцируемых ф-кций, то ,где

В пр-ве L можно рассматривать некоторые мн-ва X L, н/р мн-во

Тогда можно рассматривать задачу оптимизации в функциональном пр-ве, кот.формально может быть записана в той же форме, что и задача мат. прогр:

Найти такое , что. (1)

Задача (1) понимается в глобальном смысле, если необходимо найти ф-цию, доставляющую линейному функционалу J(x) по всем x X и понимаемом в лок смысле, если, , где

Сформулируем зад.вариационного исчисления: Пусть на отрезке T= определена непрерывно дифференцируемая ф-ция x(t), принимающая на концах отрезка заданные значения:

Определим мн-во: (2)

И на этом мн-ве определена ф-ция: (3)

Где ф-ция определена и непрерывна по всем своим аргументам вместе с частными производными по x, ,tдо 2-го порядка. Требуется найти ф-цию , такую что (4)

Ф-ции из мн-ва (2)наз. допустимыми,а ф-кия наз. минималью

Зад. (2)-(4) обычно понимается в локальном смысле, т.е. минимум ищется по ф-циям

· если

то говорят о сильном локальном минимуме

· если

то говорят о слабом локальном минимуме

Замечание.Если на некоторой кривой достигается сильный локальный минимум, то на ней достигается и слабый локальный минимум, но не наоборот. Поэтому необходимые усл. слабого локального минимума будут явл. и необходимыми усл. сильного локального минимума, но не наоборот.



Пример: (зад.о бахистохроне – кривая наискорейшего времени )

На плоскости заданы 2-е точки А и B. Введем декартовую систему координат: т. А попадает в начало координат, а т.B имеет координаты .Из А в B скатывается тяжелая материальная точка.

Найти кривую x(t) по которой перемещение из А в B произойдет за минимальное время.

Начальная скорость . Точка скатывается под воздействием силы тяжести; сопротивление не учитывается, поэтому скорость точки зависит только от положения точки и не зависит от формы кривой.

По закону Галия: , где g- ускорение свободного падения. С другой стороны, скорость в каждый момент времени вычисляется, как отношение , где ds- дифференциал дуги, которая будет пройденна точкой за время dt.

Известно, что Т.о. . Тогда время, которое необходимо точке для перехода из А в B определяется как .

Т.о. получаем следующую задачу вариационного исчисления:


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)