АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Особая точка типа седло

Читайте также:
  1. K-7.Точкапрорыва
  2. Аудит расчетов пластиковыми карточками
  3. Биологическая точка зрения.
  4. Бихевиористская точка зрения.
  5. Ваша точка зору?
  6. Вторая карточка
  7. Государственная власть как особая разновидность социальной власти
  8. Диаграммы состояния. Тройная точка.
  9. Карточка для самостоятельной работы в парах сменного состава
  10. Карточка товара (элемент справочника Номенклатура).
  11. Карточка учета боевых (учетно-боевых) действий
  12. КЛЕТОЧКА ИДЕОЛОГИИ

Рассмотрим в качестве примера маятник в вертикальном положении (Рис.27). Получим динамическое уравнение такой колебательной системы. В общем случае уравнение математического маятника записывается в виде;

 

. (3.57)

Положим, что угол равен . Тогда при малых углах отклонения от вертикального положения

, (3.58)

И уравнение маятника примет вид:

. (3.59)

Уравнение фазовых траекторий получим по стандартной методике. Динамические уравнения системы запишем в виде:

, (3.60)

. (3.61)

Исключим время

. (3.62)

Особая точка будет: , (вертикальное положение равновесия).

Интегрируя уравнение с помощью метода разделения переменных имеем;

, (3.63)

, (3.64)

где – постоянная. Разделим оба уравнения на

. (3.65)

Последнее уравнение есть ни что иное, как уравнение гиперболы в каноническом виде. Картина на фазовой плоскости будет иметь вид, приведенный в рис.28.

Стрелки, указывающие направление движения изображающей точки, проставлены с учетом первого динамического уравнения (3.38).

Семейство гипербол соответствует разным постоянным . При фазовые траектории – прямые . Эти прямые являются ассимтотами для гипербол.

Обобщая полученные результаты, дадим определение особой точки типа седло, для общего случая.

Особая точка типа седло – это точка, через которую проходят две интегральные кривые,, являющиеся асимптотами для кривых типа гипербол.

Фазовый портрет системы с равновесием, соответствующим особой точке типа седло, показывает, что при любых начальных условиях и бесконечном времени наблюдения система уходит от состояния равновесия. Исключение составляют две фазовые траектории (асимптота «а» на рисунке). Если начальная системы соответствует положению изображающей точки на этих траекториях, то система движется к равновесию. Касательно маятника это значит, что в начальный момент мы так отклонили его и сообщили ему такой импульс, что со временем он приходит в состояние вертикального равновесия и остается в нем. Опыт подсказывает, что этого не бывает. Более того, практически невозможно реализовать начальные условия, которые соответствуют точно заданной фазовой траектории.

Систему, у которой состояние равновесия представлено собой точкой типа седло, относят к системе с «отталкивающей силой». В динамическом уравнении

, (3.66)

коэффициент в выражении для упругой силы имеет отрицательный знак. Отсюда и происходит термин «отталкивающая сила». В частности, для математического маятника в вертикальном положении (см. (3.59)) , .

Примером радиотехнической схемы, которая имеет равновесие, отображаемое на фазовой плоскости особой точкой типа седло, является мультивибратор. Выведем уравнение, описывающее процесс самовозбуждения мультивибратора. Покажем, что оно также имеет «отталкивающую силу» . Схема представлена на рисунке 29. По существу – это два каскада усилителя с RC-связями, включенные в кольцо обратной связи.


Считаем, что усилители идеальные. Тогда ,.

Выходные напряжения связаны с входными

, (3.67)

. (3.68)

Составим уравнения методом узловых потенциалов.

Сумма токов в первом узле

. (3.69)

Во втором узле

. (3.70)

Обозначим

; (3.71)

. (3.72)

Подставим (3.67) и (3.68) в (3.69) и (3.70), соответственно. Тогда уравнения примут вид:

. (3.73)

Исключим . Продифференцируем слагаемые второго уравнения (3.73) и умножим все члены на

. (3.74)

Подставляем из первого уравнения (3.73) получим

, (3.75)

собираем члены одного порядка и, разделив на , получим

. (3.76)

Сравнивая полученное уравнение (3.76) со стандартным (3.66), видим

, (3.72)

, (3.77)

. (3.78)

Если коэффициент усиления (что всегда реализуется в схеме), то . Появляется «отталкивающая сила» и особая точка будет типа седло.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.)