Мат-кие понятия. Методика введения мат-ких понятий и пути их формирования

Понятие – один из главных составляющих содержания любого предмета, в том числе и предметов математического цикла. Первостепенная задача учителя математики при изучении любой темы формирование понятийного аппарата темы.

Понятие – форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения.

Содержание понятия – это множество всех существенных признаков данного понятия. Раскрывается с помощью определения.

Объем понятия - множество объектов, к кот-м применимо данное понятие. Раскрывается с помощью классификации. Н-р: понятие треугольник соединяет в себе класс всевозможных треугольников (объем понятия). Характеристическое свойство – наличие трех сторон, трех вершин, трех углов (содержание понятия).

Характеристические (существенные свойства) – это такие свойства, каждое из которых необходимо, а не вместо достаточного для характеристики объекта принадлежащих понятию.

Понятие: родовое и видовое. Н-р: Ромб – это параллелограмм, две смежные стороны, которых равны. Родовое понятие – понятие параллелограмма, видовое отличие – две смежные стороны равны.

В отношении объемов различают виды понятий: равнозначимые (совпадают), пересекающиеся, находящие (частично-пересекающиеся) в отношении включения.

Определение понятия – это предложение, в кот-м раскрываются содержание понятия, т.е. совокупность условий, необходимых и достаточных для выделения класса объектов принадлежащих определяемому понятию.

Определения:

1. явные – содержат прямое указание на существенные признаки определяемого понятия; определяемое и определяющие в них выражены четко и однозначно. Н-р: «Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом».

2. неявные – не содержат четкого и однозначного определяющего элемента, в них содержание определяемого может быть установлено через некоторый контекст. Н-р: «Фигура, образованная двумя прямыми, выходящими из одной точки, называются углом».

3. дескрипции – опр-я мат.объектов путем указания их свойств. Н-р: «То число, которое будучи умножено на длину диаметра дает длину окружности – дескрипция числа пи».

4. номинальные – с их помощью вводят новый термин символ выражение, как сокращенное для более сложных выражений из ранее введенных терминов или символов, или уточняется значения уже введенного термина символа.

5. реальные – с помошью реальных опр-й фиксируются харак-кие свойства самих опр-мых объектов (пятиугольник, есть плоская геометрическая фигура, ограничивающаяся 5-ю сторонами). Одно и то же определение можно представить как номинальное и как реальное (пятиугольником, называется плоская геометрическая фигура, ограниченная 5-ю сторонами).

6. контекстуальные – (часто применяются в начальных классах) – такие опр-я нового неизвестного термина, понятия, кот-е выясняются из смысла прочитанного, сводятся к указанию содержащих его контекста.

7. индуктивные – опр-я, кот-е позволяют из сходных объектов (теории) путем применения к ним конкретных операций получить новые объекты. Н-р: опр-е натурального числа.

8. аксиоматические – опр-я исходных понятий, кот-е даются посредством исходных понятий некоторой теории через её аксиому. Н-р: точка, плоскость и расстояние.

9. определение через род и видовые отличия – опр-я, кот-е можно рассматривать как частный вид номинальных опр-й, кот-е выделяются из предметов в некоторой области, кот-е при этом явно упоминаются в опр-нии (род) путем указания харак-го свойства опр-мого (видовое отличие).

10. генетические - опр-я, в кот-х описываются и указываются способ его происхождения, образования, возникновения и построения. Н-р: «Шар – это геометрическое тело, образованное вращение полуокружности вокруг диаметра: «Сферой наз-ся поверхность, полученная, вращением полуокружности, вокруг своего диаметра»».

11. определение через абстракцию – опр-я, связанные с выделением объекта через установление между ними отношений равенства, равнозначности тождества. Н-р: «Натуральное число n – это характеристика эквивалентных конечных множеств, состоящих из n элементов».

12. остенсивные – опр-я значений слов путей непосредственного показа, демонстрации предметов.

13. вербальные понятия – это понятия в кот-х значение неизвестных выражение определяется через выражение с известным значением.

Условие корректности определений: 1.Отсутствие прочного круга и связанного с ним возможности исключения нововведенных терминов. Пример: Решение уравнений – это то число, которое яв-ся его решением (такого не должно быть).

2. отсутствие омонимии: каждый термин встречается не более одного раза в качестве опр-го.

Формирование понятия – сложный психологический процесс, кот-й осуществляется и протекает по схеме: ощущение -> восприятие-> представление -> понятие.

Этапы формирования понятия:

1.Мотивация (подчеркивается важность изучения понятия, возбуждается интерес к изучению понятия)

2. Выявление существенных свойств понятия (выполнение упр-й, где выделяются существенные свойства изучаемого понятия).

3.Формулировка опр-й понятия (выполнение действий на распознавание объектов, принад-щих понятию).

Методы формирования понятия:

1.Конкретно-индуктивный (учитель сам вводит понятие) – в младших классах.

2.Абстрактно- дедуктивный (частично –дедуктивный метод).

Классификация понятий – выявление объема понятий, т.е. разделение множества объектов, составляющих объём родового понятия, на виды. Это разделение основано на сходстве объектов одного вида и отличии их от объектов других видов.

Условия классификации понятий: 1. Классификация проводится по определённому признаку, остающемуся неизменным в процессе классификации.

2. Понятия, получающиеся в результате классификации – взаимно независимые.

3. Сумма объемов понятий, получающихся при классификации, равняется объему исходного понятия.

Пример: Четырехугольник (трапеция и параллелограмм(прямоугольник(квадрат) и ромб(квадрат))).

Поиск по сайту: