АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Уравнение Шредингера

Читайте также:
  1. V2: Волны. Уравнение волны
  2. V2: Применения уравнения Шредингера
  3. V2: Уравнение Шредингера
  4. Адиабатический процесс. Уравнение адиабаты (Пуассона). Коэффициент Пуассона.
  5. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА
  6. В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени с двумя переменными и обратно: каждое уравнение первой степени
  7. В простом случае обычное дифференциальное уравнение имеет вид
  8. Внутреннее трение (вязкость) жидкости. Уравнение Ньютона
  9. Волна вероятности. Уравнение Шредингера
  10. Волновая функция.Уравнение Шредингера
  11. Волновое уравнение для упругих волн и его общее решение.
  12. Волновое уравнение для электромагнитных волн

 

Важнейшим является спектр собственных значений оператора полной энергии . Для одной частицы в заданном внешнем по­тенциальном поле оператор полной энергии (называемый опера­тором Гамильтона, или гамильтонианом)

(1,8)

где - оператор кинетической энергии; - оператор потенциальной энергии частицы.

Уравнение для его собственных функций Ψ и собственных зна­чений ε имеет вид

или (1.9)

Это одно из основных уравнений квантовой механики, назы­ваемое уравнением Шредингера для стационарных состояний.

Конкретизируя в каждой из рассматриваемых задач физиче­скую природу и особенности взаимодействия, можно установить зависимость потенциальной энергии U от координат. Решение урав­нения (1.9) при учете граничных условий дает весь набор соб­ственных значений и собственных функций оператора , т. е. все возможные значения энергии физической системы. При этом для состояний, которые отвечают так называемому финитному дви­жению, т. е. движению частиц в ограниченной области простран­ства, спектр значений энергии получается дискретным. Если об­ласть, в которой могут быть обнаружены частицы, неограничен­но велика, то энергия может меняться непрерывно.

Переход к анализу состояний позволяет не анализировать при­чины, происходящие в каждом конкретном акте взаимодействия, а перейти к усреднению соответствующих величин по времени и пространству. Предполагается, что именно эти усредненные зна­чения параметров состояния и фиксируются в эксперименталь­ных исследованиях, поэтому их использование в уравнениях по­зволяет описывать реальные явления .

При одной и той же форме оператора потенциальной энергии спектры могут быть как дискретными, так и сплошны­ми (непрерывными). Так, электронные состояния в кулоновском поле атомного ядра могут иметь как дискретный, так и непрерыв­ный энергетические спектры. Первый соответствует классическо­му движению по эллиптическим орбитам, а второй - движению по незамкнутым параболическим или гиперболическим орбитам. Какой из этих вариантов реализуется, определяется значением энергии.

Обычно функция Ψ(x,t)определяется из выражения для плот­ности вероятности нахождения частицы в точке х в момент времени t:

Плотность вероятности = (1.10)



В общем случае Ψ - величина комплексная. Так как вероятность должна быть величиной действительной, для нахождения плотнос­ти вероятности необходимо умножить Ψ на комплексно сопряжен­ную с ней функцию Ψ*(x,t). Поскольку Ψ*(х, t)Ψ(х, t)dx есть вероят­ность того, что частица находится в интервале от х до + dx) в момент времени t и поскольку вероятность нахождения частицы в какой-либо точке пространства в некоторый момент времени tравна единице, то

. (1.11)

Отказавшись от описания движения частицы с помощью тра­екторий, получаемых из законов Ньютона, и определив вместо этого волновую функцию, необходимо ввести в рассмотрение урав­нение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения Ч' в частных физических задачах. Как было сказано ранее, таким уравнением является уравнение Шредингера. В од­номерном случае оно имеет вид

+U(x)Ψ(x,t)=- , (1.12)

где h - постоянная Планка; т - масса частицы; U(x)- потенци­альная энергия частицы в точке х.

Уравнение (1.12) записано в одномерном представлении для упрощения.

Уравнение Шредингера вводится без какого-либо вывода и вообще не может быть выведено из более простых представле­ний точно так же, как не могут быть выведены из каких-либо простых законов законы Ньютона. Уравнение Шредингера явля­ется просто законом физики и если оно имеет смысл, то должно приводить к правильному предсказанию экспериментальных дан­ных. Квантовая теория не требует полного отказа от законов Ньютона, а лишь настаивает на отказе от абсолютной опреде­ленности в задании начальных условий. Если размер и масса ча­стицы становятся макроскопическими, то предсказания кванто­вой и классической теории совпадают друг с другом, потому что неопределенный путь частицы становиться близким к однознач­ной траектории.

Форма уравнения Шредингера показывает, что относительно времени его решение должно быть простым, поскольку время вхо­дит в это уравнение лишь через первую производную в правой части. Действительно, частное решение для специального случая, когда Uне является функцией времени, можно записать в виде

‡агрузка...

Ψ(x,t)=Ψ(x)·exp (1.13)

где функция Ψ(x)должна удовлетворять (в одномерном случае) уравнению

+U(x)Ψ(x,t)=EΨ(x),

которое получается из уравнения (1.12) при подстановке в него уравнения (1.13).

Уравнение (1.14) вообще не содержит времени; в связи с этим оно называется уравнением Шредингера, не содержащим време­ни. Выражение (1.13) является лишь частным решением зависящего от времени уравнения Шредингера (l.11). Зависимость функции Ψ(х, t) от времени проста, но зависимость ее от координаты не всегда имеет элементарный вид, так как уравнение (1.14) при од­ном выборе вида потенциальной функции U(х, t) совершенно от­личается от того же уравнения при другом выборе этой функции. В действительности уравнение (1.14) может быть решено аналити­чески лишь для небольшоro числа частных типов функции U(х).

Важное значение имеет интерпретация величины Е в уравне­нии (1.13). Она производится следующим путем: временная зави­симость функции Ψ(х,t) в уравнении (1.13) имеет экспоненци­альный характер, причем коэффициент при t в показателе экспо­ненты выбран так, что правая часть уравнения (1.14) содержит просто постоянный множитель Е. В левой части уравнения (1.14) функция Ψ умножается на потенциальную энергию U(х). Следова­тельно, из соображений размерности следует, что величина Е должна иметь размерность энергии. Единственной величиной с размерностью энергии, которая постоянна в механике, является полная (сохраняющаяся) энергия системы. Таким образом, мож­но предполагать, что величина Е представляет собой полную энер­гию. Согласно физической интерпретации уравнения Шредингера Е действительно является полной энергией частицы при движе­нии, описываемом функцией Ψ(х, t).

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |


При использовании материала, поставите ссылку на Студалл.Орг (0.006 сек.)