АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратные многочлены

Читайте также:
  1. A) линейные
  2. V2: ДЕ 11 - Векторные пространства. Линейные операции над векторами
  3. V2: ДЕ 4 – Линейные отображения. Линейные операции над матрицами
  4. V2: ДЕ 5 - Линейные отображения. Умножение матриц
  5. V2: ДЕ 6 - Линейные отображения. Определители второго порядка
  6. Абстрактные линейные системы
  7. Алгоритм решения линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами
  8. Б) линейные.
  9. Б2 3.Билинейные и квадратичные формы. Приведение их к каноническому виду. акон инерции.
  10. Биквадратные уравнения
  11. Билет 13. Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
  12. Билет 35. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы. Эрмитого разложение линейного оператора.

Теорема: Всякий многочлен степени имеет, по крайней мере, один действительный комплексный корень.

Замечание: То, что в теореме говорится о многочлене, существенно. Неалгебраическое уравнение может не иметь ни действительных, ни комплексных корней. Например: ех = 0.

Действительно, при любом комплексном х = α +iβ

.

Следствие: Многочлен (x) степени n имеет n корней с учётом их кратности, т.е. представим в виде произведения:

(12)

где x 1, x 2, …xm – различные корни многочлена (x) кратности r 1, r 2, … r m (r 1 +r 2 +…+rm n). Некоторые (или все) корни могут быть комплексными.

Доказательство:

По основной теореме многочлен имеет хотя бы один корень. Обозначим его через х, а его кратность через r 1. Тогда по формуле (11):

Если r 1 = n, то и (x)=(х-х 1) nan и теорема доказана.

Если r 1 <n и к многочлену степени n – r 1, снова применяем основную теорему. Обозначим корень этого многочлена через х 2, а его кратность через r 2. В результате получим:

Процесс закончится через конечное число шагов (не большего n) и мы придем к формуле (12).

Если в правую часть (12) подставить вместо х число, отличное от x 1, x 2, …xm, то она не обратится в нуль. Это показывает, что других корней, кроме найденных, многочлен Pn (x) не имеет и представление (12) единственно.

Все сказанное до сих пор относится к многочленам как с действительными, так и с комплексными коэффициентами. Пусть теперь многочлен Pn (x) имеет действительные коэффициенты и пусть у него имеется комплексный корень кратности s:

xk = α + iβ.

Оказывается, что если коэффициенты действительны, то и число = α - iβ тоже будет корнем той же кратности.

Т.е. в этом случае комплексные корни многочлена являются комплексно – сопряжёнными.

Рассмотрим множители:

Следовательно, объединяя скобки, соответствующие комплексно - сопряженными корнями в выражении (12), многочлен степени n с действительными коэффициентами можно разложить только на действительные множители – линейные и квадратичные:

где, все трёхчлены не имеют действительных корней.

Если многочлен не имеет комплексных корней, то квадратичные множители будут отсутствовать.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)