АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Геометрические векторы

Читайте также:
  1. Векторы.
  2. Геометрические преобразования точек и отрезков. Однородные координаты
  3. Геометрические характеристики гребного винта
  4. Кинематические и геометрические параметры передачи
  5. Общие сведения. Геометрические и кинематические особенности червячных передач
  6. Параметры оптоволокон: геометрические, оптические.

Геометрический вектор - это направленный отрезок в пространстве. Обозначается: , где A1 и A2 - начальная и конечная точки вектора. Абстрактное обозначение вектора: и т.д. Механический смысл вектора : это изображение результата перемещения частицы из точки A1 в точку A2. По определению два вектора считаются равными, если один получается из другого параллельным переносом (сдвигом).Таким образом, вектор можно перенести в любую точку. Векторы можно умножать на числа и складывать (какперемещения); эти действия называются линейными. Векторы (ненулевые), лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, пропорциональны друг другу ( или коллинеарны). Нулевой вектор пропорционален любому вектору.

Прямоугольные системы координат Oxyz в трехмерном пространствебывают левые (например, оси : Ox вправо, Oy вперед, Oz вверх) и правые (например, оси :Ox вперед, Oy право, Oz вверх). Правая система не совмещается с левой поворотами (системы как целого) в пространстве. Каждая точка M пространства имеет три координаты (числа), которые записываются в скобках после обозначения точки: M(x;y;z).Например, чтобы изобразить точку M(-2;3;4), следует из начала координат O переместиться на 2 единицы в направлении, противоположном оси Ox, затем на 3 единицы в направлении оси Oy и на 4 единицы вверх; в результате мы попадем в точку M. Соответственно, каждый геометрический вектор характеризуется тремя координатами x, y, z - числовыми проекциями вектора на координатные оси. Координаты записывают в скобках после обозначения вектора: (x; y; z ).Зная координаты начальной и конечной точек A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) вектора , можно найти координаты x,y,z этоговектора :

x = x2- x1, y = y2- y1, z = z2- z1. (1) Ортами прямоугольной системы координат называются три вектора длины 1 вдоль координатных осей (ед. число - орт; слово ortho означает «прямой»). Орты образуют базис в трехмерном пространстве, так как любой вектор (x; y; z) однозначно разлагается по ортам:

= + y × + z × . (2)

Формула (2) устанавливает взаимно однозначное соответствие между геометрическими векторами и координатными векторами (x; y; z) из R3 .

Пример. (а) Координаты середины (центра масс, центра тяжести) K отрезка



равны полусуммам одноименных координат точек A1 и A2.

(б) В треугольнике A1A2A3 координаты точки пересечения медиан (центра масс, центра тяжести) K равны средним арифметическим значениям одноименных координат вершин.

(в) В треугольной пирамиде A1A2A3A4 координаты центра масс (центра тяжести) K равны средним арифметическим значениям одноименных координат вершин пирамиды.

·Пояснение. (а) Очевидно, = 1/2 × . Расписывая это равенство

в координатах, получим xK - x1 = 1/2×(x2x1), откуда xK= 1/2×(x1 + x2) ; аналогично находятся yK, zK . (б) Пусть A1B - медиана, xB = 1/2×(x2+x3). Как известно, точка K

делит медиану A1B на отрезки в отношении 2:1 по длине (считая от вершины A1). Тогда = 2/3× . Расписывая это равенство в координатах, получим xK - x1 =2/3×( xB-x1), откуда xK= x1+2/3×xB-2/3×x1= x1+ 2/3×1/2×(x2+x3) - 2/3×x1=(x1+x2+x3)/3. Для yK и zK выражения аналогичны. (в) Пусть D - точка пересечения медиан треугольника A1A2A3, тогда xD=1/3×( x1+x2+x3). Точка K находится на отрезке A4D и делит его на части в отношении 3:1 по длине (считая от вершины A4).Тогда =3/4× . Расписывая это равенство в координатах, получим xK-x4= 3/4 × (xD-x4), откуда xK= x4 +3/4× 1/3 ×(x1+x2+x3) - 3/4×x4 = (x1+x2+x3+x4) /4 . ·


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 |


При использовании материала, поставите ссылку на Студалл.Орг (0.005 сек.)