Тема №6

Матрицу называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В другими словами, если . Матрица, транспонированная матрице обозначается символом

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле , где – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и – го столбца. Определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула

,

Определитель единичной матрицы равен 1. Для указанной матрицы А число называется дополнительным минором элемента матрицы . Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.

Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы называется дополнительным минором.

Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его дополнительный минор, умноженный на в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы. В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.

Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одной строке другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

5) транспонирование.

Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями. С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).

Если существуют квадратные матрицы Х и А одинакового порядка, удовлетворяющие условию где - единичная матрица того же порядка, то матрица называется обратной по отношению к матрице А и обозначается

Базисным минором матрицы порядка называется минор порядка , если он не равен нулю, а все миноры порядка и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. число совпадает с меньшим из чисел или .

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, называются базисными. В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы. Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы.

Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.

Системой m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных называется система

Решением системы m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных называется совокупность n значений неизвестных , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения - несовместной.

Если правая часть системы m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных равна нулю, то система называется однородной.

Система из линейно независимых решений линейной однородной системы называется фундаментальной системой решений. Фундаментальная система решений образует базис в подпространстве решений линейной однородной системы.

Общим решением линейной системы называется выражение, позволяющее вычислить все решения системы.

Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел и : , где (число называется мнимой единицей).

Комплексные числа называются сопряженными друг другу.

Пусть - множество элементов, для которых определены операции сложения и умножения на число, причём эти операции обладают следующими свойствами. Для любых элементов , , из множества выполняются законы

1) (коммутативность сложения);

2) (ассоциативность сложения);

3) во множестве существует нулевой элемент такой, что для любого элемента , (существование нулевого элемента);

4) для любого элемента существует элемент , такой, что (существование противоположного элемента);

5) .

Для любых действительных чисел любых элементов , из множества ;

6) ;

7) Распределительный закон ;

8) .

Множество называется линейным (векторным) пространством, а его элементы называются векторами.

Если операции сложения и умножения на число определены для действительных элементов, то линейное (векторное) пространство является вещественным пространством, если для комплексных элементов – комплексным пространством.

Говорят, что в линейном пространстве задано некоторое линейное преобразование А, если любому элементу по некоторому правилу ставится в соответствие элемент .

Преобразование А называется линейным, если для любых векторов и и любого выполняются равенства

Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует каждый элемент линейного пространства в себя .

Если в пространстве существуют векторы линейного преобразования , то другой вектор является линейной комбинацией векторов .

Если выполняется только при , то векторы называются линейно независимыми.

Если в линейном пространстве есть n линейно независимых векторов, а любые векторов линейно зависимы, то пространство называется n-мерным, а совокупность линейно независимых векторов называется базисом линейного пространства .

Если вектор переводится в вектор линейным преобразованием с матрицей А, а вектор в вектор линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор в вектор (оно называется произведением составляющих преобразований).

Пусть – заданное n - мерное векторное пространство. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство: . При этом число называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

Если линейное преобразование А в некотором базисе , ,…, имеет матрицу , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни уравнения: .

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть - характеристическим многочленом линейного преобразования А. Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

Однородный многочлен второй степени относительно переменных и не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных и .

Однородный многочлен второй степени относительно переменных и

,

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных и .

Квадратичная форма от n неизвестных называется положительно определенной, если ее ранг равен положительному индексу инерции и равен числу неизвестных.

Вектором (на прямой, на плоскости, в пространстве) называется упорядоченная пара точек А, В, или направленный отрезок. Точка А называется началом вектора, точка В - его концом. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нуль-вектором. Векторы обычно обозначаются или двумя большими буквами со стрелкой или чертой наверху, или малой буквой также со стрелкой или чертой наверху: , , , . Первая из двух букв означает начало вектора, вторая - его конец.

Длина отрезка называется длиной или модулем вектора и обозначается или .

Два ненулевых вектора и называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Обозначение: ïê .

Коллинеарные векторы называются одинаково (противоположно) направленными, если (в случае принадлежности разным прямым) их концы лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой, соединяющей их начала, а в случае принадлежности одной прямой, если из двух лучей, определяемых этими векторами, один содержится (не содержится) в другом. Обозначение ­­ ( ­¯ ).

Два вектора и называются равными, если они одинаково направлены и имеют равные длины, т.е. если ­­ , ï ï=ï ï.

Отложить вектор от точки М -значит построить вектор , равный вектору .

Суммой векторов называется вектор , получающийся следующим построением: от произвольной точки А (прямой, плоскости, пространства) откладываем первый вектор , равный вектору , от конца вектора откладываем второй вектор , равный вектору и т.д.: суммой является вектор, соединяющий начальную точку А с концом последнего отложенного вектора . Операция сложения векторов ассоциативна и коммутативна, так как при любом порядке откладывания векторов - слагаемых мы придем к тому же самому результату.

Произведением действительного ненулевого числа l на ненулевой вектор называется вектор, обозначаемый или , удовлетворяющий следующим трем условиям:

Произведение любого вектора на нуль и нуль-вектора на любое число, по определению, есть нуль-вектор, т.е. = , = .

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла j между ними. Обозначение: или , т.е. где Если или , то, по определению,

Декартова прямоугольная система координат в пространстве называется правой (левой), если поворот от базисного вектора к вектору на наименьший угол виден с конца вектора осуществляющимся против (по) часовой стрелки. Говорят также, что тройка базисных векторов имеет правую (левую) ориентацию.

Векторным произведением двух неколлинеарных векторов и называется вектор , перпендикулярный плоскости векторов и , имеющий длину, равную площади параллелограмма, построенного на векторах и и направленный так, что тройка векторов так же ориентирована, как и тройка базисных векторов . Обозначение: . Векторное произведение двух коллинеарных векторов и в случае, когда один или оба сомножителя - нуль-векторы, по определению, равно нулю.

Смешанным произведением трех векторов называется скалярное произведение векторного произведения первых двух векторов на третий. Обозначение: , т.е. Из этого определения следует, что три вектора компланарны (параллельны одной плоскости) тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Это уравнение называют общим уравнением прямой.

Каждый ненулевой вектор , компоненты которого удовлетворяют условию называется направляющим вектором прямой .

Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора , которые могут быть вычислены по формулам:

; .

Откуда . Числа называются угловыми коэффициентами прямой.

Пусть - произвольное множество действительных чисел: . Говорят, что задана функция с областью определения D, если каждому числу из множества D поставлено в соответствие единственное действительное число . Обозначение: . Читается: « есть от . Число называется аргументом, число - значением функции при данном значении аргумента. Множество всех значений функции называется областью значений этой функции.

Графиком функции называется множество точек координатной плоскости, где «пробегает» всю область определения .

Число называется пределом функции при , если для любого существует такое число , что для всех таких, что верно неравенство .

Если при только при , то - называется пределом функции в точке слева, а если при только при , то называется пределом функции в точке справа.

Число называется пределом функции при , если для любого числа существует такое число , что для всех , таких что выполняется неравенство . При этом предполагается, что функция определена в окрестности бесконечности. Обозначение:

Функция называется ограниченной в некоторой окрестности точки , если существует такое число , что для всех точек из этой окрестности.

Предел функции при , где - число, равен бесконечности, если для любого числа существует такое число , что неравенство выполняется для всех , удовлетворяющих условию . Обозначение: . Если в приведенном определении заменить условие на , то получим а если заменить на , то

Функция называется бесконечно большой при , где – число или одна из величин ¥, +¥, -¥, если , где А –число или одна из величин ¥, +¥, -¥.

Если , то функция называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция .

Если , то и называются бесконечно малыми одного порядка малости.

Если то функции и называются эквивалентными бесконечно малыми. Обозначение: .

Бесконечно малая функция называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой функции , если предел существует, конечен и отличен от нуля.

Функция , определенная в некоторой окрестности точки , называется непрерывной в точке , если предел функции и ее значение в этой точке равны . Тот же факт можно записать иначе: .

Если функция определена в некоторой окрестности точки , но не является непрерывной в самой точке , то она называется разрывной функцией в этой, а сама точка называется точкой разрыва этой функции.

Функция называется непрерывной в точке , если для любого положительного числа существует такое число , что для любых , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Функция называется непрерывной в точке , если приращение функции в точке является величиной бесконечно малой в этой точке где – функция бесконечно малая при . Если функция непрерывна в каждой точке множества , то говорят, что она непрерывна на множестве .

Точка называется точкой устранимого разрывафункции , если в этой точке функция имеет конечные, равные друг другу левый и правый пределы, не равные значению функции в точке : . При этом в самой точке функция может быть и не определена. Если доопрпеделить значение функции в точке положив его равным , то функция будет непрерывной в точке

Точка называется точкой разрыва 1- го рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы

.

Точка называется точкой разрыва 2 – го рода функции , если один из односторонних пределов функции в этой точке либо не существует либо равен бесконечности.

Функция называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в каждой точке интервала (отрезка).

Функция называется равномерно непрерывной на отрезке , если для любого существует такое, что для любых точек и таких, что выполняется неравенство .

Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие по некоторому закону определённое число , то говорят, что на множестве всех натуральных чисел задана последовательность Общий член последовательности является функцией от . Таким образом, последовательность является функцией натурального аргумента.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число , что для любого справедливо неравенство , т.е. все члены последовательности принадлежат отрезку .

Последовательность называется ограниченной сверху, если для любого существует такое число , что .

Последовательность называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число , что .

Число называется пределом последовательности , если для любого положительного существует такой номер , что для всех выполняется неравенство Обозначение: . В этом случае говорят, что последовательность сходится к при .

1) Если для всех , то последовательность называется возрастающей.

2) Если для всех , то последовательность называется неубывающей.

3) Если для всех , то последовательность называется убывающей.

4) Если для всех , то последовательность называется невозрастающей.

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Производной функции в точке называется предел, если он существует, отношения приращения функции в точке к приращению аргумента в этой точке, когда последнее стремится к нулю , где - приращение аргумента в точке , а - соответствующее этому приращению приращение функции в этой точке.

Правой (левой) производной функции в точке называется правый (левый) предел , при условии, что этот предел существует. Если функция имеет производную в некоторой точке , то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно.

Дифференциалом функции в точке называется главная линейная часть приращения функции. Обозначается или . Из определения следует, что или , так как . Следовательно, .

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при :

Пусть функция дифференцируема на некотором интервале. Дифференцируя, находим её первую производную . Если найти производную функции , получим вторую производную функции если последняя существует , т.е. или .Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени .

Функция имеет в точке максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторой окрестности, содержащей точку . Функция имеет в точке минимум, если при любом ( может быть и отрицательным).

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Кривая называется выпуклой (вогнутой) на интервале , если все ее точки лежат не выше (не ниже) любой ее касательной на этом интервале.

Точка, при переходе через которую направление вогнутости кривой меняется на противоположное, называется точкой перегиба.

Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении этой точки на бесконечность.

Дифференцируемая на некотором промежутке функция называется первообразной для функции , определенной на том же промежутке, если для каждого числа выполняется равенство .

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Обозначим через m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке . Разобьем отрезок на части (не обязательно одинаковые) n точками . Введём обозначения … На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции:

, , … .

Составим суммы:

=

= .

Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма – верхней интегральной суммой, соответствующей данному разбиению отрезка.

Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от разбиения отрезка на части ни от выбора в этих частях промежуточных точек, то этот предел называется определённым интегралом от функции по отрезку , а функция называется интегрируемой по Риману на отрезке . По определению

Поиск по сайту: