Рассмотрим второй и третий случаи

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе

По программированию

на тему:

«Решение системы линейных уравнений»

Выполнил: Принял:

ст.гр.020603 Навроцкий А.А.

Червоный А.В.

Минск 2001г.

Содержание

Введение.

1. Анализ существующих методов решения задачи.

2. Описание используемого метода.

3. Анализ результатов.

Вывод.

Список использованной литературы.

Приложение (распечатка программы, результатов).

Введение

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) является одной из основных задач линейной алгебры. Эта задача имеет важное прикладное значение при решении научных и технических проблем. Кроме того, является вспомогательной при реализации многих алгоритмов вычислительной математики, математической физики, обработки результатов экспериментальных исследований.

В общем виде СЛАУ выглядит так: Ax=b, и при решении данной системы возможно несколько вариантов.

1. Матрица А – квадратная и det(A)≠0.

2. А-квадратная, но det(A)=0.

3. А – прямоугольная.

Рассмотрим второй и третий случаи.

В первом случае часто решают через обратную матрицу x = A^-1b.

Было вы не плохо чтобы для наших случаев решение можно было написать в аналогичном виде. Но для таких матриц обратной матрицы не существует. И для решения системы Ax = b под решением понимается вектор х, минимизирующий квадрат длины вектора невязки (r,r) = (Ax-b,Ax-b)→min. Если задача решается неоднозначно(как обычно бывает) то выбирают вектор наименьшей длины(norm(x)→min). При этом решение записывается в виде

x = A⁺b. Под A⁺ часто понимают псевдообратную матрицу Мура-Пенроуза X= A⁺, удовлетворяющую условиям:

· AXA=A;

· XAX=X;

· AX – симметричная;

· XA – симметричная.

Покажем, как получается матрица X:

Ax=b;

A^TAx = A^Tb;

(A^TA)^-1A^TAx = (A^TA)^-1A^Tb;

X = (A^TA)^-1A^T;

A=U∑V^T;

X = V∑⁺U^T;

σ₁⁺ 0 0 … 0 σ₁⁺ 0 0 … 0

∑⁺ = (… …0 … 0) ∑⁺ = (… …0 … 0)

0 … σ_N⁺…0 0 … σ_N⁺…0

Где σ_i⁺ = 1/σ, если σ≠0 и 0, если σ=0. Часто для повышения надежности результатов используют эффективную псевдообратную матрицу A⁺_ε у которой σ_ε⁺ = 1/σ, если σ>ε иначе 0. Сингулярное разложение матрицы не является единственным и его не просто искать «руками», поэтому будем использовать пакет Matlab и его функцию [U, S, V] = svd(M);

Рассмотрим несколько примеров

Возьмем матрицу A mxn, где m>n

При решении «обычными» методами, мы бы получили, что решений нет.

Получим сингулярное разложение матрицы A

Теперь легко оценить число обусловленностей матрицы A

Cond(A) = 3.053

Получим ∑⁺ и A⁺

Получим наконец решение уравнения Ax=b

Проверим наш результат

Оценим погрешность наших вычислений

ε=1-norm(A*x)/norm(b) = 1-3.1543/3.3166 =1- 0.951 = 0.049

Проделаем те же действия но для матрицы, у которой m<n

При решении «обычными» методами, мы бы получили бесконечно много решений.

Получим сингулярное разложение матрицы A

Теперь легко оценить число обусловленностей матрицы A

Cond(A) = 3.053

Получим ∑⁺ и A⁺

Получим наконец решение уравнения Ax=b

Проверим наш результат

Оценим погрешность наших вычислений

ε=1-norm(A*x)/norm(b) 0

Проделаем те же действия но для квадратной матрицы 3x3, у которой пределитель = 0

При решении «обычными» методами, мы бы получили, что решений нет.

Получим сингулярное разложение матрицы A

Теперь легко оценить число обусловленностей матрицы A

Cond(A) = 2.99

Получим ∑⁺ и A⁺

Получим наконец решение уравнения Ax=b

Проверим наш результат

Оценим погрешность наших вычислений

ε=1-norm(A*x)/norm(b) 1-0.9914 = 0.0086

Поиск по сайту: