Краткие теоретические сведения. Сущность операторного метода

Сущность операторного метода. Некоторая функция вещественной переменной t, удовлетворяющая условию Дирихле (на конечном промежутке времени функция должна иметь конечное число разрывов первого рода и должна быть периодической), в момент времени , сопоставляется с функцией комплексной переменой ( – комплексная переменная).

В данном случае функция вещественной переменной называется оригиналом, а функция комплексной переменной – изображением.

Переход от оригинала к изображению, и наоборот, осуществляется с помощью прямого и обратного преобразований Лапласа.

Математически можно записать, что функция является изображением функции , следующим образом:

или ,

а функция f (t) оригиналом F (p):

или .

Оригинал функции можно найти и с помощью теоремы разложения. Если изображение функции представлено в виде дроби , причем многочлены (относительно р) N (p) и M (p) удовлетворяют следующим условиям: степень N (p) ниже степени M (p), а_к и b_k – вещественные числа, а корни р₁, р₂, …, р_n уравнения M (p) = 0 различны, тооригинал находим по формуле , где М`(р_к) – значение производной при р = р _к, N (р _к) – значение числителя при р = р _к.

В том случае, если один из корней равен нулю, то

,

М (0) и N (0) – значение знаменателя и числителя соответственно при р _к = 0.

Если имеются корни кратностью m_k, то оригинал вычисляется по формуле .

Кроме вышеперечисленных способов нахождения оригинала и изображения функции, их можно определить с помощью созданных программных продуктов, таких, например, как Mathcad или с помощью специальных таблиц, которые приводятся в справочниках по высшей математике или в учебных пособиях по ТОЭ [3, 9]. Таблица оригиналов и изображений по Лапласу приводится и в данном издании (прил. 2).

При нахождении изображения (оригинала) сложной функции следует помнить, что переход от оригинала к изображению, и наоборот, осуществляется с помощью интегрального преобразования и поэтому:

,

.

Использование преобразований Лапласа при расчете переходных процессов в электрических цепях позволяет перейти от системы интегрально-дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитные процессы к системе алгебраических уравнений, что существенно упрощает процедуру нахождения искомых токов и напряжений в цепи.

Последовательность расчета переходных процессов операторным методом заключается в следующем.

1. Находят независимые начальные условия – ток на катушке индуктивности i _L(0) и напряжение на конденсаторе u _C(0) в момент коммутации.

2. Составляют операторную схему замещения. Помня при этом,

• что операторная схема сохраняет конфигурацию послекоммутацион- ной электрической цепи;

• активные сопротивления переносятся в операторную схему без изме- нения;

• индуктивность L заменяется элементом pL последовательно, с ним включается добавочная эдс, которая направлена по току. Величина добавочной эдс равна Li _L(0);

• емкость С заменяется элементом , после которого последова- тельно включается добавочная эдс, равная и направленная против направления тока;

• эдс и токи заменяются их изображениями.

Если задача имеет нулевые независимые начальные условия u_С (0)=0, i_L (0)=0, то добавочные эдс в операторную схему не включаются.

3. Используя любой известный метод расчета электрических цепей (метод непосредственного применения законов Кирхгофа, метод контурных токов и т. д.), определяют изображения токов I (p) для операторной схемы.

Законы Кирхгофа в операторной форме:

– алгебраическая сумма изображений токов в узле равна нулю:

,

– алгебраическая сумма изображений напряжений в замкнутом контуре равна нулю:

.

Проверкой правильности нахождения изображения токов служит выполнение следующих предельных соотношений:

– ,

– ,

– ,

– .

4. Изображение напряжения на любом из элементов цепи находим по закону Ома в операторной форме:

,

,

.

По формулам предельного соотношения можно проверить и правильность нахождения изображений напряжения.

5. От изображения токов I (p) и напряжений U (p) переходим к их оригиналам i (t) и u (t).

Операторный метод удобен при расчете сложных электрических цепей.

При применении этого метода можно пользоваться всеми методами расчета электрических цепей.

При ненулевых начальных условиях, пользуясь методом наложения, можно сначала решить задачу для нулевых начальных условий, а затем на полученные результаты наложить те результаты, которые получаются только от действия дополнительных источников энергии.

Поиск по сайту: