Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость. (Угол всегда острый)

13.2 Пусть прямая задана каноническими уравнениями , а плоскость общим уравнением .

Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости перпендикулярны, то есть их скалярное произведение равно нулю – условие параллельности прямой и плоскости

Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны – условие перпендикулярности прямой и плоскости

13.3

1. Прямая принадлежит плоскости, если две точки этой прямой принадлежат этой плоскости.
2. Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна любой другой прямой, лежащей в этой плоскости.

14. Понятие матрицы. Различные виды матриц. Действия над матрицами.

Матрицей называется прямоугольная таблица образованная из элемента некоторого множества и состоящая из некоторого количества M – строк и некоторого количества N – столбцов. Числа M и N называются порядком матрицы.

Матрица A (штрих) является транспонированной матрицей по отношению к А.

Если матрица является квадратной то транспонированная матрица получается путем поворота вокруг диагонали.

Матрица размера называется квадратной, число называется порядком матрицы.

Матрица называется нулевой, если все её элементы равны нулю, т.е. .

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, - вектор-столбцом

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Скалярной называется диагональная матрица , у которой все диагональные элементы равны между собой.

Действия над матрицами:
Сложения матриц, умножение матрицы на число, произведение двух матриц.

15. Понятие определителя. Свойства определителей.

Квадратной матрице -го порядка ставиться в соответствие число , называемое определителем матрицы или детерминантом.

Свойства:
1) При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется:

2° Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя.

3°

То есть, если квадратная матрица -го порядка умножается на некоторое ненулевое число , то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на число в степени, равной порядку матриц.

4° Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем.

5° Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак.

6° Определитель с двумя равными строками равен нулю.

7° Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.

8° Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.

9° Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.

10° Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

11° Определитель произведения матриц равен произведению определителей:

16. Миноры и их алгебраические дополнения. Ранг матрицы. Разложения определителя по элементам строки и по элементам столбца.

Минором элемента матрицы n -го порядка называется определитель матрицы (n-1) -го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i -й строки и j -го столбца.

Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij матрицы n -го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:

Рангом матрицы называется ранг её системы строк или столбцов.

Обозначается

На практике для нахождения ранга матрицы используют следующее утверждение: ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду.

Раскладывается по формуле:

17. Обратная матрица, условия её существования. Вычисление обратной матрицы. Преобразование матриц. Ступенчатая матрица.

Пусть — квадратная матрица порядка . Матрица , удовлетворяющая вместе с заданной матрицей равенствам:

называется обратной

Вычисление обратной матрицы:

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Обратная матрица матрице А, обозначается через А^-1, так что В = А^-1 и вычисляется по формуле

,

где А _{i j} - алгебраические дополнения элементов a _{i j} матрицы A..

Преобразование матриц:
1)Перестановка двух столбцов (строк) матрицы

2)Умножение всех элементов одного столбца (строки) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля

3)Прибавление к элементам одного столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на одно и то же число

18. Системы линейных уравнений. Матричная запись системы. Основные понятия.

Системой линейных уравнений (л.у.) над называется совокупность (набор) из нескольких уравнений от одного и того же набора переменных (неизвестных) :

Матричная запись системы:
AX = B,

где

Матрицу A называют матрицей (или основной матрицей) системы. Матрицу

называют расширенной матрицей системы, а матрицу для которой AС = В, - вектор-решением системы.

19. Отыскание решения линейной системы уравнений (правило Крамера, метод Гаусса)

Правило Крамера

Если m = n система квадратная, если основная матрица системы является не вырожденной, то система имеет единственное решение которое определяется по формуле Крамора:

Метод Гаусса:

Смысл метода Гаусса заключается в том, чтобы преобразовать исходную систему уравнений и получить равносильную разрешенную или равносильную несовместную систему.

Итак, метод Гаусса состоит из следующих шагов:

1. Рассмотрим первое уравнение. Выберем первый ненулевой коэффициент и разделим все уравнение на него. Получим уравнение, в которое некоторая переменная x_i входит с коэффициентом 1;

2. Вычтем это уравнение из всех остальных, умножая его на такие числа, чтобы коэффициенты при переменной x_i в остальных уравнениях обнулились. Получим систему, разрешенную относительно переменной x_i, и равносильную исходной;

3. Если возникают тривиальные уравнения (редко, но бывает; например, 0 = 0), вычеркиваем их из системы. В результате уравнений становится на одно меньше;

4. Повторяем предыдущие шаги не более n раз, где n — число уравнений в системе. Каждый раз выбираем для «обработки» новую переменную. Если возникают противоречивые уравнения (например, 0 = 8), система несовместна.

В результате через несколько шагов получим либо разрешенную систему (возможно, со свободными переменными), либо несовместную. Разрешенные системы распадаются на два случая:

1. Число переменных равно числу уравнений. Значит, система определена;

2. Число переменных больше числа уравнений. Собираем все свободные переменные справа — получаем формулы для разрешенных переменных. Эти формулы так и записываются в ответ.

20. Определение линейного пространства. Понятие подпространства и линейной оболочки. Примеры линейных пространств и подпространств.

Линейным (векторным) пространством называется множество произвольных элементов, называемых векторами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, т.е. любым двум векторам и поставлен в соответствие вектор , называемый суммой векторов и , любому вектору и любому числу из поля действительных чисел поставлен в соответствие вектор , называемый произведением вектора на число

Линейная оболочка— подмножества X линейного пространства L пересечение M всех подпространств L, содержащих X

21. Понятие линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Примеры. Три теоремы о линейной зависимости элементов.

Система из столбцов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что

Система из столбцов называется линейно независимой, если равенство возможно только при

Пример:
Используя определение, установить линейную зависимость или линейную независимость систем столбцов

Решение. 1) Столбцы линейно зависимы, так как можно составить нетривиальную линейную комбинацию, например, с коэффициентами , которая равна нулевому столбцу:.

2) Столбцы линейно независимы, так как равенство

равносильное системе оказывается верным только при .

22. Размерность и базис линейного пространства. Теорема о разложении элемента пространства по данному базису и о единственности такого разложения.

Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует система из линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима

Теорема.

Любой вектор n-мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.

Доказательство.

Пусть - базис n-мерного векторного пространства. Добавим к этим векторам n-мерный вектор x. Тогда полученная система векторов будет линейно зависимой и вектор x может быть линейно выражен через векторы : , где - некоторые числа. Так мы получили разложение вектора x по базису. Осталось доказать, что это разложение единственно.

Предположим, что существует еще одно разложение , где - некоторые числа. Отнимем от левой и правой частей последнего равенства соответственно левую и правую части равенства :

Так как система базисных векторов линейно независима, то поопределению линейной независимости системы векторов

Поиск по сайту: