Д.т.н., профессор _________________ А. М. Малышенко

Центральной задачей теории управления является синтез регуляторов, обеспечивающих заданные динамические характеристики конструируемой системы.

В работе исследуется так называемый ПИД-регулятор, в состав которого может входить пропорциональное, интегрирующее и дифференцирующее звенья для управления объектом. Рассмотрим в качестве примера систему с единичной обратной связью, изображенную на рис. 1.

Регулятор представляет собой параллельное соединение указанных звеньев, поэтому его передаточная функция выглядит следующим образом:

, (1)

где:

– пропорциональный коэффициент усиления;

– интегральный коэффициент усиления;

– дифференциальный коэффициент усиления.

Рассмотрим, как ПИД-регулятор работает в замкнутой системе на примере схемы рис.1. Переменная представляет ошибку слежения, как разницу между задаваемым входным значением и текущим выходом . Этот сигнал ошибки посылается в ПИД-регулятор, а регулятор вычисляет производную и интеграл ошибки. Сигнал после регулятора складывается из пропорционального коэффициента усиления, умноженного на ошибку, плюс интегральный коэффициент усиления на интеграл ошибки плюс дифференциальный коэффициент усиления на производную ошибки:

. (2)

Сигнал поступает на вход объекта и приводит к изменению его выхода . Это новое значение выхода снова посылается на вход для нахождения нового сигнала ошибки. Регулятор получает новое значение сигнала ошибки и снова интегрирует и дифференцирует его. Этот процесс непрерывно повторяется.

1.2. Характеристики П, И и Д регуляторов

Пропорциональный регулятор эффективно уменьшает время нарастания выходного сигнала и уменьшает, но не сводит к нулю, установившуюся ошибку. Интегрирующий регулятор эффективно устраняет установившуюся ошибку, но сильно ухудшает переходную характеристику. Дифференциальный регулятор увеличивает устойчивость системы, уменьшает перерегулирование и улучшает переходную характеристику.

Влияние каждого регулятора в замкнутой системе показано в табл.1.

Таблица 1

Отметим, что эти зависимости могут быть не очень точными, потому что , и зависят друг от друга. Фактически, изменение одной из этих переменных может изменить эффект остальных двух. Поэтому табл.1 может быть использована только как рекомендация при выборе величин , и .

Пример. Предположим, что у нас есть подвижная масса , пружина и демпфер (рис. 2). Жесткость пружины определяется коэффициентом , вязкое трение – коэффициентом .

Рис. 2

Уравнение движения этой системы

,

где – внешняя сила, действующая на массу.

Применив преобразование Лапласа, получим операторную запись уравнения системы

.

Передаточная функция между смещением и входом имеет вид

. (3)

Положим = 1 кг, = 10 н с/м, = 20 н/м, = 1 н.

Подставим эти величины в передаточную функцию:

. (4)

Попытаемся выяснить, как нужно изменять коэффициенты , и чтобы обеспечить:

§ увеличение скорости переходного процесса;

§ минимизацию отклонения;

§ уменьшение установившейся ошибки.

1.3. Переходная характеристика разомкнутой системы

Замкнем систему единичной отрицательной обратной связью и рассмотрим ее реакцию на единичное ступенчатое воздействие, т.е. построим переходную функцию системы. Это можно сделать в пакете Simulink либо путем численного интегрирования, либо через линейный анализ. Собрав соответствующую схему, получим график, показанный ниже на рис.3.

Статический коэффициент усиления передаточной функции равен 1/21, так что 0,048 – это установившееся значение выходной величины при единичном ступенчатом воздействии. Это соответствует очень большой установившейся ошибке - 0,952. Кроме того, время переходного процесса около 1,5 секунд. Требуется разработать регулятор, который сократит время переходного процесса и устранит статическую ошибку.

Рис.3 Переходная характеристика замкнутой системы без регулятора (с единичным пропорциональным регулятором)

1.4. Пропорциональный регулятор

Передаточная функция замкнутой системы с пропорциональным регулятором имеет вид:

. (5)

Зададим пропорциональный коэффициент и запустив Simulink, получим график, приведенный на рис. 4.

Рис. 4 Рис. 5

График показывает, что пропорциональный регулятор существенно влияет на вид переходного процесса, меняя все его характеристики. Для более полного исследования влияния изменений на систему проведем моделирование системы в диапазоне значений от 100 до 500 и построим графики зависимости перерегулирования, времени переходного процесса и установившейся ошибки от . Результаты исследования занесены в таблицу 2, а графики зависимостей и от приведены на рис. 5, 6, 7.

Таблица 2.

%		32,5		45,4	49,4
	0,17	0,09	0,06	0,05	0,04
с	0,48	0,54	0,59	0,53	0,60

Рис.6 Рис.7

Полученные графики показывают, что пропорциональное звено действительно уменьшает время переходного процесса и статическую ошибку, но увеличивает перерегулирование.

1.5. Пропорционально-дифференциальный регулятор

Перейдем к рассмотрению ПД-управления. Из табл.1 видно, что введение управления по производной с коэффициентом уменьшает величину и время перерегулирования. Передаточная функция замкнутой системы с ПД-регулятором:

. (6)

Зададим пропорциональный коэффициент и дифференциальный коэффициент . Результатом моделирования будет график переходной характеристики, изображенный на рис. 8.

Рис. 8

Из сравнения графиков на рис. 4 и 8 следует, что дифференциальный регулятор уменьшает перерегулирование и время переходного процесса и слабо влияет на статическую ошибку.

Как и в предыдущем случае для полного исследования этого влияния необходимо провести моделирование системы при различных значениях и фиксированном и построить графики зависимости перерегулирования, времени переходного процесса и установившейся ошибки от . Для данной системы можно рекомендовать и .

1.6. Пропорционально-интегральный регулятор

Прежде, чем перейти к ПИД-регулятору, рассмотрим ПИ-регулятор. Из табл.1 видно, что интегрирующая составляющая с коэффициентом увеличивает перерегулирование и время переходного процесса и устраняет статическую ошибку. Для системы с обратной связью и PИ-регулятором передаточная функция имеет вид:

.

Уменьшим до 30, а установим равным 100. Запустив схему моделирования, получим график, изображенный на рис. 9

Рис. 9 Переходная функция с ПИ регулятором.

Мы уменьшили пропорциональный коэффициент , поскольку интегрирующий регулятор также уменьшает постоянную времени и увеличивает перерегулирование, как и пропорциональный регулятор (двойной эффект). Полученный график показывает, что интегральный регулятор полностью устранил статическую ошибку.

Далее следует провести полное исследование влияния коэффициента на качество переходных процессов. Рекомендуемый диапазон изменения – ().

1.7. Пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор

Теперь рассмотрим ПИД регулятор. Передаточная функция замкнутой системы с ПИД-регулятором следующая:

. (7)

Используя общие сведения о влиянии коэффициентов регулятора на поведение системы, после нескольких шагов метода проб и ошибок можно получить , и , обеспечивающие график, приведенный на рис. 10.

Рис.10 Переходная функция замкнутой САР с ПИД регулятором

Из него видно, что мы получили систему без перерегулирования, с быстрым временем нарастания и без статической ошибки.

1.8. Основные приемы синтеза ПИД-регулятора

При разработке ПИД-регулятора для заданной системы, можно рекомендовать следующую процедуру его синтеза, обеспечивающую получение желаемого результата.

§ Шаг 1. Получите реакцию разомкнутой системы и определите, что должно быть улучшено.

§ Шаг 2. Добавьте пропорциональное звено для улучшения постоянной времени.

§ Шаг 3. Добавьте дифференцирующее звено для уменьшения перерегулирования.

§ Шаг 4. Добавьте интегрирующее звено для устранения статической ошибки.

§ Шаг 5. Варьируйте каждый из коэффициентов , , и до тех пор, пока не получите желаемый результат. При этом можно использовать приведенную ранее табл.1, которая показывает, на что влияют отдельные элементы регулятора.

Следует иметь в виду, что совсем не обязательно применять все три части регулятора (пропорциональную, дифференциальную, и интегральную). Например, если PИ-регулятор дает достаточно хорошую реакцию (подобно рассмотренному примеру), тогда не нужно добавлять дифференцирующее звено. Надо стараться создавать по возможности более простой регулятор.

2. ЗАДАНИЕ ПО РАБОТЕ И СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

2.1 Для заданного в таблице 2 варианта системы провести эксперименты по п. 1.4, 1.5, 1.6 данных методических указаний и построить графики, иллюстрирующие влияние коэффициентов регулятора на работу САР. Интервал варьирования коэффициентов , , выбирается отдельно для каждого конкретного объекта исходя из существенных изменений характеристик системы. Для каждого регулятора следует взять 5 значений коэффициентов. Результаты экспериментов заносить в таблицу.

2.2 Экспериментально найти коэффициенты ПИД-регулятора для заданного в таблице 2 варианта системы, приведенной на рис. 2.

Таблица 2

Отчет должен содержать результаты анализа различных вариантов регуляторов для исходной схемы, в виде графических зависимостей показателей качества от коэффициентов регулятора и график итоговой переходной функции для заданного варианта.

3. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дьяконов В.П. MATLAB 6/6.1/6.5 + SIMULINK 4/5 в математике и моделировании.– М.: СОЛОН-Пресс, 2003 – 565 с.

2. Дьяконов В.П. SIMULINK 4. Специальный справочник. - Санкт-Петербург, 2002, - 518 с.

3. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Избранные главы теории автоматического управления - Спб.: Наука, 1999.

4. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования.- М.: Наука, 1966.- 992 с.

5. Топчеев Ю. И., Цыпляков А. П. Задачник по теории автоматического регулирования. - М.: Машиностроение, 1977. – 592 с.

Поиск по сайту: