Б.Л. Афанасьев,

УДК 531

ББК 22.3

Л 124

Составители: И.А. Авенариус,

Б.Л. Афанасьев,

Г.К. Ипполитова,

В.А. Савельев,

Т.А. Тимофеева,

Г.Ю. Тимофеева,

В.И. Участкин

В лабораторном практикуме даны описания лабораторных работ по разделу «Механика» курса физики.

Практикум предназначен для студентов первого и второго курсов всех специальностей МАДИ, изучающих общую физику.

УДК 531

ББК 22.3

© Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет

(МАДИ), 2010

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 1-М

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПУЛИ БАЛЛИСТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

1. ВВЕДЕНИЕ

1.1. В природе и технике часто происходят упругие и неупругие взаимодействия. Примерами неупругого взаимодействия являются удары копра при забивании свай, кузнечного молота и другие. Задача о разлете осколков снаряда при разрыве является обратной задачей об абсолютно неупругом ударе и решается с помощью тех же законов.

1.2. Целью данной работы является ознакомление с законами сохранения при неупругих соударениях на примере системы двух тел (пули и баллистического маятника) и определение скорости пули по первому наибольшему отклонению маятника при попадании в него пули.

2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

2.1. Система тел называется замкнутой (изолированной), если на нее не действуют внешние силы: F_внеш = 0. Для замкнутых систем тел выполняются законы сохранения: импульса = сonst, момента импульса = сonst и полной энергии E = E_мех + E_внутр = сonst. Механическая энергия системы тел сохраняется Е_мех = сonst, если система изолирована и, кроме того, консервативна, т.е. между телами системы действуют только консервативные силы. Консервативные силы зависят от расстояния между взаимодействующими телами и не зависят от их скоростей. Консервативными являются, например, гравитационные силы, силы упругости. Работа консервативных сил по замкнутому пути равна нулю. Работа неконсервативных сил зависит от формы траектории и на замкнутом пути не равна нулю. К неконсервативным силам относятся силы трения.

Понятие замкнутой системы является идеализацией, оно применимо к реальным системам тел в тех случаях, когда внутренние силы взаимодействия тел системы значительно больше внешних сил F_внутр >> F_внеш. Тогда полагают, что F_внеш = 0.

Когда систему тел нельзя считать замкнутой (F_внеш ¹ 0), применимы частные законы сохранения, справедливые при некоторых дополнительных условиях.

Если время воздействия на систему мало, то изменениями импульса , момента импульса и полной энергии DE = N×Dt можно пренебречь по сравнению с их значениями и считать импульс, момент импульса и полную энергию системы постоянными ( - векторная сумма внешних сил, - векторная сумма моментов и N - сумма мощностей внешних сил).

Закон сохранения импульса выполняется:

1) если внешние силы действуют, но компенсируются, , сохраняется полный импульс системы = сonst;

2) если компенсируются не все силы, а их проекции на какую-нибудь из осей, например åF_ix = 0, или отсутствуют проекции сил на ось F_ix= 0, тогда сохраняется проекция импульса на эту ось: P_x = åp_ix= сonst; то же для осей y и z.

Закон сохранения момента импульса выполняется:

1) если внешние силы не создают моментов (M_i= 0) или их моменты компенсируются (), тогда сохраняется полный момент импульса системы = сonst;

2) если отсутствуют проекции моментов сил или их сумма для одной из осей равна нулю, например M_ix= 0 или åM_ix= 0, сохраняется проекция момента импульса на эту ось L_x = åL_ix= сonst.

Закон сохранения полной энергии:

если работа внешних сил А_внеш= 0, то сохраняется полная энергия системы Е = сonst.

Закон сохранения механической энергии выполняется, если работа внешних сил А_внеш= 0, и, кроме того, работа внутренних неконсервативных сил А_неконс= 0: Е_мех = сonst.

2.2. Удар - кратковременное взаимодействие двух или нескольких тел. Различают два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий.

Абсолютно упругим ударом называют такое взаимодействие тел, после которого в обоих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую. Для абсолютно упругого удара справедливы законы сохранения импульса, момента импульса и механической энергии.

Абсолютно неупругим называется удар, после которого скорости соударяющихся тел оказываются одинаковыми, тела движутся как одно целое. При этом кинетическая энергия системы тел частично или полностью переходит во внутреннюю энергию (в тепло и энергию остаточной деформации), так что сохраняются импульс, момент импульса и полная энергия системы. Механическая энергия при неупругом ударе не сохраняется.

Удар является центральным, если векторы скоростей сталкивающихся тел направлены вдоль прямой, соединяющей их центры.

3. ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

3.1. В данной работе изучается абсолютно неупругий центральный удар двух тел - пули и баллистического маятника. Баллистический маятник - это тело (цилиндр, частично заполненный пластилином), подвешенное на длинных легких нитях. Размеры цилиндра существенно меньше длины нитей, поэтому маятник можно считать математическим. В неподвижный маятник стреляют из «пушки». Пуля застревает в пластилине и сообщает маятнику некоторую скорость.

Общий вид лабораторной установки изображен на рис. 1. Маятник 1 подвешен к потолку на нитях 2, линейка для измерения отклонения маятника 3 укреплена на подставке, которую можно передвигать. Пуля вылетает из «пушки» 4, представляющей собой закрытую с одного конца цилиндрическую трубку с прорезью. Внутри трубки находятся пружина и стержень (боек) с курком.

Рис. 1

3.2. Вывод расчетной формулы

В положении равновесия на маятник действуют сила тяжести и уравновешивающая ее сумма сил натяжения нитей. В горизонтальном направлении силы отсутствуют (силами сопротивления при движении пули пренебрегаем). Время соударения пули с маятником Dt мало по сравнению с периодом колебаний маятника Т, так что за время соударения он не успевает заметно отклониться от положения равновесия, поэтому во время удара не возникает сил, стремящихся вернуть его в исходное положение. Следовательно, к системе пуля - маятник на время удара можно применить закон сохранения горизонтальной проекции импульса в виде

(1)

где m₁ и m₂ - массы пули и маятника соответственно, v₁ и v - горизонтальная проекция скорости пули перед ударом (скорость вылета пули) и скорость маятника вместе с пулей сразу после удара.

Откуда

. (2)

Неизвестную скорость маятника можно определить, рассматривая новую систему тел: маятник с пулей - Земля. Силами сопротивления воздуха и трением в установке пренебрегаем, сила тяжести консервативна, сумма сил натяжения нитей перпендикулярна скорости и работы не совершает, так что механическая энергия системы после удара сохраняется. В этом случае кинетическая энергия, полученная маятником при ударе, равна потенциальной энергии в момент максимального отклонения маятника от положения равновесия, когда его центр масс поднимется на высоту h,

(3)

Подставляя значение v из (3) в (2), получим

(4)

Величина h может быть определена из измерений максимального отклонения маятника x от положения равновесия после попадания пули (рис. 2). При малых углах отклонения маятника от положения равновесия

sin a» a» и (5)

Подставляя (5) в (4), получим

. (6)

3.3. Используя формулу для периода колебаний математического маятника , получаем

(7)

где n - полное число колебаний маятника, t - время, за которое оно совершено. Подставляя (7) в (6), получим окончательную формулу для определения скорости пули в виде

(8)

3.3. Найдем изменение механической энергии системы DЕ в результате удара. Кинетическая энергия системы до удара равна

(9)

а после удара

(10)

Откуда с учетом (1) это изменение равно

(11)

Из сравнения (9) и (11) видно, что во внутреннюю энергию переходит часть кинетической энергии налетающего тела, тем большая, чем меньше масса налетающего тела по сравнению с массой покоящегося. Она равна

(12)

4. ПОРЯДОК ИЗМЕРЕНИЙ

4.1.1. Внести технические данные измерительных приборов в табл. 1.

Таблица 1

4.1.2. Записать значения масс пули и цилиндра с учетом заданных погрешностей: m₁ ± Dm ₁; m₂ ± Dm ₂.

4.2.1. Подготовить маятник к эксперименту: проверить взаимное расположение «пушки» и маятника, чтобы оно обеспечивало попадание пули в центр цилиндра, привести маятник в равновесие и установить нулевое деление линейки под концом стрелки маятника.

4.2.2. Подготовить «пушку» к выстрелу: перемещая боек, сжать пружину и завести курок в прорезь, вставить пулю в дуло «пушки», задвигая ее до упора. Затем установить курок на предварительный взвод: вывести его из прорези и упереть в выступ.

ВНИМАНИЕ! Запрещается: 1) вставлять пулю, если курок стоит на предварительном взводе; 2) после зарядки «пушки» вносить руки за ограждение.

4.2.3. Произвести выстрел и замерить максимальное отклонение стрелки маятника по линейке. Результат записать в табл. 2.

4.2.4. Повторить операции пунктов 4.2.1 - 4.2.3 пять раз.

4.2.5. Измерить секундомером время t десяти (n = 10) полных колебаний маятника, для чего отклонить маятник на небольшой угол, дать ему покачаться и, приняв момент, когда маятник находится в одном из крайних положений, за t = 0, включить секундомер. Результат записать в табл. 2. Измерение повторить N = 5 раз.

Таблица 2

№ п/п	xi			ti

5. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

5.1. Вычислить средние значения максимального отклонения и времени десяти полных колебаний маятника по формулам

;

,

оставляя в средних значениях то же число значащих цифр, что и в каждом измерении.

5.2. По формуле (8) вычислить среднее значение скорости пули, принимая за x и t их средние значения и .

5.3. Вычислить средние квадратичные ошибки

=;

=.

5.4. Вычислить абсолютные случайные ошибки

Dx _сл = t_a(N) ×DS _x =,

Dt _сл = t_a (N) ×DS _t =,

где коэффициент Стьюдента t _0,9 (5) = 2,1.

5.5. Вычислить полные абсолютные ошибки

Dx = Dx_сл + Dx_приб =;

Dt = Dt_сл + Dt_приб =,

округлить результаты до одной значащей цифры.

5.6. Вычислить относительную ошибку в значении скорости пули

=.

Здесь Dm ₁, Dm ₂ - абсолютные ошибки в значениях масс.

5.7. Вычислить полную абсолютную ошибку в значении скорости пули

=.

Округлить ее до одной значащей цифры.

5.8. Записать окончательный результат, округлив до разряда абсолютной погрешности

= (±) м/с.

6. КОМПЛЕКТЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ЗАЩИТЫ РАБОТЫ

I КОМПЛЕКТ

1. Какие системы тел называются замкнутыми, и каким законам они подчиняются?

2. Найдите, какая часть кинетической энергии пули при попадании ее в маятник переходит во внутреннюю энергию.

3. Перечислите условия, при которых выполняется закон сохранения импульса. Почему его можно применить к системе пуля-маятник?

II КОМПЛЕКТ

1. Какой удар называется абсолютно упругим? Какие законы сохранения для него выполняются? Примеры.

2. Мяч массой m, движущийся со скоростью v, летит перпендикулярно стенке и сталкивается с ней абсолютно упруго. Найти изменение импульса мяча в результате удара.

3. Какие законы используются для нахождения скорости маятника после удара?

III КОМПЛЕКТ

1. Закон сохранения импульса и условия, при которых он применим для незамкнутых систем.

2. Как определяются импульсы материальной точки, системы материальных точек и твердого тела при произвольном движении?

3. От чего и как зависит доля кинетической энергии налетающего тела, переходящая во внутреннюю энергию при абсолютно неупругом ударе?

IV КОМПЛЕКТ

1. Какие законы сохранения и в каком виде используются в данной работе?

2. Какие системы называют замкнутыми и незамкнутыми?

3. В каких случаях при абсолютно неупругом ударе вся кинетическая энергия переходит во внутреннюю?

V КОМПЛЕКТ

1. Законы сохранения полной и механической энергий, условия их выполнения.

2. Какая энергия называется кинетической? Найти кинетическую энергию шара массой m, радиусом R, катящегося по горизонтальной поверхности без проскальзывания со скоростью v.

3. Чему равен импульс однородного диска массой m и радиусом R, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска?

VI КОМПЛЕКТ

1. Какой удар называется абсолютно неупругим, какие законы сохранения для него выполняются? Приведите примеры использования неупругих ударов в технике.

2. В каких случаях реальные системы тел можно считать замкнутыми? В каких случаях в незамкнутых системах выполняются законы сохранения механической энергии и полной энергии?

3. Чему равен импульс системы двух материальных точек массами m₁ = 0,3 кг и m₂ = 0,2 кг, движущихся во взаимно перпендикулярных направлениях со скоростями v₁ = 1 м/с и v₂ = 2 м/c?

Литература

1. Савельев, И.В. Курс общей физики / И.В. Савельев.-М.: Астрель; АСТ. Кн.1: Механика, 2001.

Автор описания ст. преп. Т.А. Тимофеева.

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 2-М

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПУЛИ С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО БАЛЛИСТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

1. ВВЕДЕНИЕ

Целью данной работы является ознакомление с законами сохранения при неупругих соударениях на примере системы двух тел, пули и баллистического крутильного маятника, и определение скорости пули по первому наибольшему отклонению маятника после попадания в него пули.

2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

2.1. См пункт 2.1 в работе №1-М.

2.2. В законах сохранения используются понятия момента сил и момента импульса. Напомним их определения. Моментом силы относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора , проведенного из точки Ов точку приложения силы, на силу : .

Момент силы не изменится, если точку приложения силы перенести в любую другую точку, расположенную на линии действия силы. Момент нескольких сил относительно некоторой точки равен геометрической сумме моментов этих сил относительно той же точки. Модуль момента силы M = F r sina, где a - меньший угол между направлениями радиуса-вектора и силы.

Моментом силы относительно оси называют проекцию на эту ось момента силы относительно точки, лежащей на этой оси.

Моментом импульса материальной точки (м.т.) относительно точки О (центральным моментом импульса) называется векторное произведение радиуса-вектора , проведенного от точки О к материальной точке, на ее импульс : . Модуль момента импульса L = r p sina.

Момент импульса системы м.т. относительно точки О равен векторной сумме моментов импульса всех м.т. системы относительно этой точки О.

Моментом импульса относительно некоторой оси L_z (осевым моментом импульса) называется проекция на эту ось момента импульса относительно точки, лежащей на этой оси.

Осевой момент импульса твердого тела равен L_z = J_zw, где J_z – момент инерции твердого тела относительно этой оси.

Момент инерции твердого тела характеризует инертность тела при вращательном движении и зависит от распределения элементарных масс относительно оси, он равен J_z = S D m_i r², где D m_i - элемент массы тела, r -его расстояние от оси. Заменив малые конечные элементы массы тела бесконечно малыми, получим

Момент инерции тела относительно любой оси равен моменту инерции J₀ относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, плюс произведение массы на квадрат расстояния между осями a (теорема Штейнера)

J = J₀ + ma².

2.3. См. пункт 2.2 в работе № 1-М.

2.4. В данной работе изучается абсолютно неупругий удар двух тел - пули и крутильного баллистического маятника (стержня, подвешенного горизонтально на двух вертикальных проволоках-растяжках, закрепленных сверху и снизу, см. его подробное описание в п. 3). Для определения скорости пули стреляют в маятник. Пуля застревает в маятнике, вызывая его поворот, в результате проволоки, на которых подвешен маятник, закручиваются, и маятник начинает совершать крутильные колебания вокруг своей вертикальной оси. Время соударения пули с маятником незначительно по сравнению с периодом колебаний, так что можно пренебречь поворотом маятника от положения равновесия за время удара. Действующие на маятник силы тяжести и натяжения проволок уравновешены. Они направлены вертикально и не создают моментов относительно вертикальной оси, поэтому, пренебрегая моментом сил трения, можно применить к системе пуля - маятник закон сохранения момента импульса относительно вертикальной оси. Считая удар абсолютно неупругим, имеем

m₁vr = (J + m₁r ²)w, (1)

где m₁ - масса пули, r - расстояние от оси вращения до центра пули в месте ее попадания в маятник, v - горизонтальная проекция скорости пули в момент удара (скорость вылета пули), J - момент инерции маятника, w - угловая скорость маятника сразу после попадания пули. Кинетическая энергия пули во время удара частично переходит во внутреннюю энергию при неупругой деформации пластилина, частично в кинетическую энергию вращения маятника вместе с пулей.

После удара для системы тел маятник – закрепленные проволоки применим закон сохранения механической энергии

E_кин = E_пот,

где E_кин - кинетическая энергия, которую получает маятник в результате удара пули, E_пот - потенциальная энергия упругой деформации проволок при максимальном их закручивании, или подробно

, (2)

где j - максимальный угол поворота маятника в результате удара пули, к - коэффициент упругости проволок при кручении.

Из (1) и (2) получаем

(3)

или, учитывая, что момент инерции пули m₁ r ² много меньше J,

(4)

Для нахождения момента инерции J и коэффициента упругости проволок k воспользуемся формулой для периода колебаний крутильного маятника

, (5)

где J = J_м +2 J_гр.

Для двух различных положений грузов на коромысле маятника (на максимальном расстоянии от оси или минимальном) имеем:

(6)

(7)

Кроме того, согласно теореме Штейнера

(8)

где - масса каждого груза, R₁ и R₂ – расстояния центров грузов до оси.

Решая совместно уравнения (6), (7), (8), получаем

. (9)

Окончательный вид формулы (4) зависит от того, при каком положении грузов произведен выстрел. Для случая, когда выстрелы производят при сдвинутых к оси грузах, из (4), (7), (9) имеем

(10)

3. ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

Лабораторная установка состоит из стойки, к которой на упругих проволоках-растяжках прикреплен баллистический крутильный маятник. Схематично вид маятника сверху показан на рис. 1. Он состоит из стержня (коромысла) 1, по которому могут перемещаться два груза (цилиндра) 2, а на концах закреплены коробочки с пластилином (мишени, в которые попадает пуля) 3. На мишенях и самом стержне имеются деления для определения расстояния от оси вращения маятника, а на торце мишени нанесена вертикальная черта, по которой фиксируется угол поворота маятника от положения равновесия. Маятник накрыт прозрачным колпаком 4 с угловой шкалой.

Рис. 1

Сбоку от маятника закреплена пружинная «пушка» 5, представляющая собой кожух с прорезями, внутри которого находится стержень с надетой на него пружиной. «Пушка» имеет две пары ручек - неподвижные и подвижные с захватом для пружины. Пуля - короткий полый цилиндрик, надевается на стержень.

ВНИМАНИЕ! Для обеспечения сохранности и работоспособности установки необходимо быть внимательным и аккуратным при передвижении грузов по стержню маятника и удалении пули из пластилина. Чтобы не оборвать растяжки, одной рукой сверху придерживайте маятник.

4. ПОРЯДОК ИЗМЕРЕНИЙ

4.1. Технические данные измерительных приборов занести в табл.1.

Таблица 1

4.2. Определение периодов колебаний маятника.

4.2.1. Записать значения масс пули и грузов:

m₁ ± Dm₁, m_гр ±Dm_гр. 4.2.1.

4.2.2. Раздвинуть цилиндры на максимальное расстояние от оси R₁.

4.2.3. Повернуть маятник на небольшой угол (держа за середину) и отпустить, дать ему сделать несколько колебаний и, приняв момент времени, когда отклонение максимально, за t = 0, включить секундомер и отсчитать время десяти (n = 10) полных колебаний маятника.

4.2.4. Подсчитать период колебаний маятника T₁ = t₁ /10, данные занести в табл. 2.

4.2.5. Сдвинуть грузы на минимальное расстояние от оси R₂ .

4.2.6. Произвести измерения согласно пунктам 4.2.3 - 4.2.4, определив t₂ и Т₂.

Таблица 2

4.3. Определение скорости пули.

4.3.1. Проверить положение грузов на маятнике, расстояние между ними должно быть минимальным.

4.3.2. Размять пластилин в мишени, чтобы он стал мягким, и разровнять его.

4.3.3. Успокоить маятник и замерить по шкале углов положение неподвижного маятника a₀.

4.3.4. Зарядить «пушку». Для этого сдвинуть подвижные ручки вперед и захватить пружину, повернув их горизонтально, оттянуть назад до щелчка, надеть пулю на стержень. Наклонив ручки по часовой стрелке, произвести выстрел. Измерить угол a, на который повернется маятник после попадания пули. Вычислить угол поворота маятника j = a – a₀. Результат занести в табл. 3.

Таблица 3

4.3.5. Измерить расстояние r от центра следа, оставленного пулей в пластилине, до оси вращения маятника по шкале на мишени. Занести в табл. 3.

4.3.6. Повторить операции пунктов 4.3.2 - 4.3.5 еще 4 раза, занося результаты в табл. 3.

5. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ

5.1. Вычислить средние значения расстояния ` r и угла отклонения маятника `j. Записать в табл. 3.

5.2. Вычислить среднюю скорость пули ` v по формуле (10), подставляя средние значения `j®j в радианах (1^о = 17,45×10 ^-3 рад) и ` r® r в м.

5.3. Рассчитать относительную погрешность вычисления скорости

=,

где , , Dj, Dr – приборные погрешности (см. табл. 1).

Вычислить абсолютную погрешность

Dv = `ve =м/с.

Округлить значение абсолютной погрешности до одной значащей цифры.

5.4. Записать окончательный результат, округлив полученное значение `v до разряда абсолютной погрешности, в виде

v = (`v ± D v) м/с.

6. КОМПЛЕКТЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ЗАЩИТЫ РАБОТЫ

I КОМПЛЕКТ

1. Какие системы называются замкнутыми, и каким законам они подчиняются?

2. Что такое момент инерции? Как он находится для системы материальных точек и твердых тел? Теорема Штейнера.

3. Что называется потенциальной энергией? Какими свойствами она обладает? О какой потенциальной энергии идет речь в данной работе?

II КОМПЛЕКТ

1. Что называется центральным и осевым моментами импульса? Как направлен центральный момент импульса? Когда момент импульса остается постоянным?

2. Что изменится, если выстрелы производить при максимально удаленных от оси грузах?

3. Как зависит момент инерции маятника от положения добавочных грузов? Вывести формулу для определения скорости пули, если выстрел производится при максимально удаленных от оси грузах.

III КОМПЛЕКТ

1. Какие законы сохранения и в каком виде используются в данной работе? Обосновать возможность их применения.

2. Что характеризует кинетическая энергия? Как она вычисляется при поступательном и вращательном движениях твердого тела?

3. Как найти момент инерции тела произвольной формы относительно произвольной оси?

IV КОМПЛЕКТ

1. Какие системы называются незамкнутыми? В каких случаях можно применять закон сохранения момента импульса к незамкнутым системам?

2. Дать определение абсолютно упругого и неупругого ударов. Привести примеры их практического использования.

3. Используя формулы (6) и (9), вычислите момент инерции маятника с раздвинутыми грузами.

V КОМПЛЕКТ

1. Закон сохранения полной энергии и условия его применения.

2. Сделайте подробный вывод формулы (9), найдите коэффициент упругости проволок при кручении k.

3. Момент силы, его модуль, направление, единицы измерения.

VI КОМПЛЕКТ

1. Какой удар называется абсолютно упругим? Какие законы сохранения для него выполняются?

2. Используя теорему Штейнера, выведите формулу (8).

3. Дать определение момента инерции системы материальных точек и твердого тела.

Литература

1. Савельев, И.В. Курс общей физики / И.В. Савельев.-М.: Астрель; АСТ. Кн.1: Механика, 2001.

Автор описания ст. преп. Т.А. Тимофеева.

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 3 - М

ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

НА ПРИБОРЕ ОБЕРБЕКА

1. ВВЕДЕНИЕ

1.1. Вращательное движение является, пожалуй, самым распространенным видом движения в современной технике. Энергия тепловых и электрических двигателей поступает на исполнительные органы различных машин чаще всего в форме кинетической энергии вращательного движения. Можно не только передавать, но и накапливать, и хранить энергию, приводя во вращение массивные маховики.

1.2. Настоящая работа посвящена экспериментальному ознакомлению с законом динамики вращательного движения и включает в себя определение момента инерции маятника Обербека.

2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

2.1. Вращательное движение твердого тела может осуществляться вокруг неподвижной оси или вокруг точки (см. приложение). Простое вращательное движение – движение твердого тела, при котором все его точки, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности с центрами, лежащими на одной неподвижной прямой, называемой осью вращения. Тело, совершающее вращательное движение вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы, и его положение определяется углом поворота j относительно некоторого фиксированного положения, принятого за начальное. Малое угловое перемещение определяется векторами или , направленными по оси вращения по правилу правого винта (в ту сторону, откуда поворот тела виден против хода часовой стрелки). Вращательное движение задается уравнением j = j (t). Угловое перемещение измеряется в радианах.

2.2. Основные кинематические характеристики вращательного движения тела – его угловая скорость и угловое ускорение . Угловой скоростью называется векторная величина, характеризующая быстроту вращения твердого тела. Угловая скорость равна производной угла поворота по времени Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта.

Единицы измерения угловой скорости – с^-1.

Угловое ускорение – векторная величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости. При вращении тела вокруг неподвижной оси Вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора при ускоренном вращении ()ипротивоположно вектору – при замедленном ().

При постоянном значении углового ускорения b = const тело совершает равнопеременное вращательное движение

w (t) = w₀ ± b t; j (t) = j₀ + w₀ t ± b t²/2. (1)

Единицы измерения углового ускорения – с^-2.

2.3. Основными динамическими характеристиками простого вращательного движения тела являются его момент импульса относительно оси вращения L_z = J_zw (кг·м²/с) и кинетическая энергия (Дж), где J_z – осевой момент инерции тела.

Момент инерции – физическая величина, являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении. Значение осевого момента инерции тела относительно оси Z вычисляется по формуле

J_z = S m_i R_i² или (2)

где m_i – массы материальных точек, на которые разбивается тело, R_i – их расстояния от оси Z; m – масса, r – плотность, V – объем тела. Единицы измерения момента инерции –кг×м².

Одно и то же тело относительно разных осей обладает различными моментами инерции. Согласно теореме Гюйгенса (ее также называют теоремой Штейнера) момент инерции J_z тела относительно произвольной оси равен сумме его момента инерции J_0z относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния а между осями

J_z = J_0z + mа². (3)

Выражение (2) позволяет сравнительно легко рассчитать моменты инерции тел правильной геометрической формы (например, стержня, диска, обруча, шара). Момент инерции тел сложной конфигурации обычно определяют экспериментально.

2.4. Основной мерой взаимодействия тел в механике яв­ляется сила. Момент силы – величина, характеризующая враща­тельный эффект силы при действии ее на твердое тело. Момен­том силы относительно центра 0 называется векторная вели­чина , равная векторному произведению радиус-вектора , проведенного из 0 в точку приложения силы , на вектор силы (рис. 1).

Рис. 1 0 Y Z A g d Mz X a

Численно момент силы равен произведе­нию модулей r и F на синус наименьшего угла между векторами и : M₀ = r×F×sin a; или произведению модуля силы F на плечо d, т.е. на длину перпендикуляра, опущенного из 0 на линию действия силы M₀ = F×d.

Направлен вектор перпендикулярно плоскости, проходящей через точку 0 и вектор силы , по правилу правого винта.

Осевым моментом силы относительно оси Z M_z называется проекция на эту ось вектора момента силы относительно центра 0: M_z = M₀ cos g. Силы, линии действия которых пересекают ось вращения, непосредственно не влияют на вращение: их плечо в этом случае равно 0. Единицы измерения момента силы – Н×м.

2.5. Основной закон динамики вращательного движения (уравнение моментов) гласит: производная момента импульса тела по времени равна векторной сумме моментов внешних сил

(4)

Уравнение моментов для вращения тела вокруг неподвижной оси имеет вид

J_z b = S M_iz. (5)

Основной закон динамики простого вращательного движения: угловое ускорение тела b прямо пропорционально суммарному осевому моменту внешних сил и обратно пропорционально осевому моменту инерции тела

(6)

Вектор углового ускорения направлен по оси вращения в положительную сторону, если проекция на эту ось момента внешних сил положительна, и наоборот, если проекция момента отрицательна.

3. ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

3.1. Вращательное движение в данной работе изучается с помощью крестообразного маховика, называемого маятником Обербека, изображенного на рис. 2. Он состоит из четырех стержней и двух шкивов различного радиуса r₁ и r₂, укрепленных на одной горизонтальной оси. По стержням могут перемещаться и закрепляться с помощью винтов в нужном положении четыре цилиндра одинаковой массы m_ц. На один из шкивов наматывается нить с грузом m на свободном конце.

3.2. На груз m действует сила тяжести mg, натяжение нити T и сила сопротивления воздуха, которой можно пренебречь. Уравнение движения груза в проекции на вертикальную ось, направленную вниз, имеет вид

mа = mg - T. (7)

3.3. При движении груза m момент силы натяжения нити относительно горизонтальной оси Z, равный M_z = r×T, приводит маховик во вращение. Используя разные шкивы и грузы, можно изменять момент силы натяжения нити. Момент силы трения в оси благодаря применению подшипников и смазки мал, и им можно пренебречь. Уравнение моментов для маятника примет вид

J b = rT. (8)

3.4. Угловое ускорение маховика b, если считать, что растяжение нити пренебрежимо мало и нить не проскальзывает по шкиву, связано с линейным ускорением a груза m

a = b r. (9)

3.5. Ускорение груза может быть определено экспериментально по известной высоте h, с которой опускается груз, и времени его движения t

(10)

3.6. Решая систему уравнений (7), (8), (9), (10), можем определить значение момента инерции маятника

. (11)

3.7. В лабораторной установке высота h @ 1 м, время t @ 10 c, поэтому значение и в формуле (12) можно пренебречь вторым слагаемым в скобках и провести вычисления момента инерции по приближенной формуле

. (12)

4. ПОРЯДОК ИЗМЕРЕНИЙ

4.1. Внести данные о лабораторной установке в табл. 1.

Таблица 1

4.2. Закрепить с помощью зажимных винтов цилиндры на концах стержней. Расстояние между центрами цилиндров, находящихся на противоположных концах стержней, 2L₁ указано на установке. Значения 2L₁, радиуса бóльшего шкива r, массы груза m, массы каждого цилиндра m_ц занести в табл. 2.

r = (±) м; m = (±) кг; h = (±) м; m_ц = (±) кг;

2L₁ = (±) м; 2L₂ = (±) м. Таблица 2

№ п/п	ti1, c	Dti1 =½ t1-ti1 ½,с	Dti12, c2	ti2, c	Dti2= ½ t2-ti2 ½, с	Dti22, c2
		å Dti12 =		å Dti22 =

4.3. Подвесить груз к нити. Слегка натягивая, намотать нить в один слой на бóльший шкив. Придерживая крестовину, измерить масштабной линейкой, приклеенной к стене, начальную высоту груза над полом h и занести ее величину в табл. 2.

4.4. Отпустить крестовину и включить секундомер в момент начала вращения маятника. Остановить секундомер при ударе груза об пол. Значение времени t₁ занести в табл. 2.

4.5. Повторить измерение времени движения груза с одной и той же высоты еще 4 раза и занести результаты в табл. 2.

4.6. Закрепить цилиндры с помощью зажимных винтов на минимальном расстоянии от оси вращения. Расстояние между центрами цилиндров 2 L₂ занести в правую половину табл. 2.

4.7. Провести измерения времени движения t₂ при новом положении цилиндров на стержнях 5 раз и занести результаты в правую половину табл. 2.

5. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

5.1. Определить средние значения времени движения груза и . Полученные значения занести в табл. 2.

5.2. Используя данные табл. 2 и формулу (12), рассчитать моменты инерции маятника с цилиндрами

(кг×м²); (кг×м²).

5.3. Рассчитать абсолютные погрешности измерений времени их квадраты Dt_i ² и средние квадратичные погрешности

5.4. Определить абсолютные случайные погрешности

D t_сл1 = S_t1× t_a(n) =; D t_сл2 = S_t2× t_a(n) =.

Коэффициент Стьюдента t_a(n) при a = 0,9 и n = 5 взять из таблицы, вывешенной в лаборатории.

5.5. Сравнить значения приборной и случайной погрешностей D t_приб и D t_сл. Если они существенно (на порядок) различаются, то учесть бóльшую из них; если они одного порядка, то абсолютная ошибка измерения времени равна их сумме

D t = D t_приб + D t_сл.

Округлить абсолютную ошибку до одной значащей цифры.

5.6. Рассчитать относительную погрешность в определении моментов инерции для двух случаев расположения цилиндров по формуле

(15)

подставляя в нее приборные погрешности для величин m, r, h, указанные на установке, и рассчитанные в пункте 5.5 значения D t₁ иD t₂. Округлить относительные погрешности e₁ и e₂ до двух значащих цифр.

5.7. По полученным значениям e₁ и e₂ рассчитать величины абсолютных ошибок DJ₁ и DJ₂ в определении момента инерции

DJ₁ = e₁`J<sub>1</sub> = и DJ<sub>2</sub> = e<sub>2</sub>`J₂ =.

Округлить DJ₁ и DJ₂ до одной значащей цифры, а значения `J<sub>1</sub> и ` J₂ до разряда их абсолютных ошибок.

5.8. Записать результаты расчетов для обоих случаев в виде

J = (` J ± DJ) кг×м².

5.9. Сравнить значения `J<sub>1</sub> и ` J₂ и обосноватьих различие.

5.10. Убедиться в справедливости теоремы Гюйгенса (Штейнера)

J₁ = J _{маятника} + 4 J ₀ + 4 m _ц L₁²;

J₂ = J _{маятника} + 4 J ₀ + 4 m _ц L₂²;

J₁ - J ₂ = 4 m _ц (L₁²-L₂²),

где J ₀ - момент инерции каждого из цилиндров относительно оси, проходящей через его центр масс параллельно оси маятника.

6. КОМПЛЕКТЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ЗАЩИТЫ РАБОТЫ

I КОМПЛЕКТ

1. Дайте определение вращательного движения.

2. Запишите уравнение движения и уравнение моментов обруча, скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости с углом a. Определите ускорение его центра масс.

3. Рассчитайте момент инерции сплошного цилиндра массой m, радиусом r относительно оси симметрии цилиндра.

II КОМПЛЕКТ

1. Назовите кинематические характеристики вращательного движения, их определения, единицы измерения, связь с аналогичными характеристиками поступательного движения.

2. Запишите уравнение движения и уравнение моментов диска массой m, скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости с углом a. Определите величину силы трения сцепления диска с поверхностью наклонной плоскости.

3. Рассчитайте момент инерции стержня массой m, длиной L относительно перпендикулярной ему оси, проходящей через его конец.

III КОМПЛЕКТ

1. Назовите динамические параметры вращательного движения, их определения, единицы измерения, связь с аналогичными параметрами поступательного движения.

2. Запишите уравнение движения и уравнение моментов шара, скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости с углом a. Определите ускорение его центра масс.

3. Приведите расчет момента инерции обруча массой m, радиусом r относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча и проходящей через его край.

IV КОМПЛЕКТ

1. Дайте определение момента силы, назовите единицы его измерения.

2. Запишите уравнение движения и уравнение моментов обруча массой m, скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости с углом a. Определите величину силы трения сцепления обруча с поверхностью наклонной плоскости.

3. Рассчитайте момент инерции стержня массой m, длиной L относительно перпендикулярной ему оси, проходящей через его центр масс.

V КОМПЛЕКТ

1. Дайте определение осевого момента инерции, приведите примеры его значений для различных тел.

2. Запишите уравнение движения и уравнение моментов для цилиндра, скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости с углом a. Определите ускорение его центра масс.

3. Рассчитайте момент инерции шара массой m, радиусом r относительно оси, проходящей через его центр масс.

VI КОМПЛЕКТ

1. Дайте определение главных, центральных главных и свободных oсей инерции тела. В каких случаях вращение тела устойчиво?

2. Запишите уравнение движения и уравнение моментов для шара массой m, скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости с углом a. Определите величину силы трения сцепления шара с поверхностью наклонной плоскости.

3. Сформулируйте теорему Гюйгенса (Штейнера). Рассчитайте момент инерции диска массой m, радиусом r относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его край.

Литература

1. Савельев, И.В. Курс общей физики / И.В. Савельев.-М.: Астрель; АСТ. Кн.1: Механика, 2001.

2. Матвеев, А.Н. Механика и теория относительности / А.Н. Матвеев - М.: Высшая школа, 1986.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Общее вращательное движение – движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку 0 (например, движение гироскопа, закрепленного в кардановом подвесе). Каждая из точек тела перемещается по поверхности сферы с центром в точке 0. Вращательное движение тела вокруг точки слагается из серии элементарных поворотов вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через эту точку. Мгновенная ось вращения непрерывно изменяет свое положение как по отношению к системе отсчета, в которой рассматривается движение тела, так и в самом теле. Тело с неподвижной точкой имеет три степени свободы, и его положение по отношению к данной системе отсчета определяется тремя параметрами, например углами Эйлера j - угол собственного вращения, y - угол прецессии, q - угол нутации. Закон движения задается уравнениями j = j(t); y = y(t); q =q(t).

При вращении тела вокруг неподвижной точки вектор углового ускорения определяется как первая производная от вектора мгновенной угловой скорости по времени

Момент инерции является мерой инертности тела при общем вращательном движении, он зависит от распределения масс в теле и расположения оси вращения. Осевые моменты инерции тела относительно точки 0 определяются формулами

J_xx = S m_i (r_i²-x_i²), J_yy = S m_i (r_i²-y_i²), J_zz = S m_i (r_i²-z_i²), (13)

где m_i – массы материальных точек, на которые разбивается тело, r_i, x_i,y_i, z_i – ихрадиусы-векторы и координаты. Центробежными моментами инерции называются величины, определяемые формулами

J_xy = J_yx = –S m_ix_iy_i , J_yz = J_zy = –S m_iy_iz_i , J_zx= J_xz = –S m_iz_ix_i . (14)

Эти величины являются характеристиками динамической неуравновешенности масс. Например, при вращении тела вокруг оси Z от значений J_xz и J_yz зависят силы давления на подшипники, в которых закреплена ось.

Зная шесть величин J_xx, J_yy, J_zz, J_xy, J_yz, J_zx,можно вычислить всю совокупность моментов инерции тела относительно любых осей. Эти шесть величин определяют тензор инерции тела

.

Через каждую точку тела можно провести три такие взаимно перпендикулярные оси, называемые главными осями инерции, для которых центробежные моменты инерции равны нулю: J_xy = J_yz = J_zx = 0. Тензор инерции в этих осях приобретает диагональный вид

.

Поиск по сайту: